A temperatura em uma região do plano é dado por
.
c) Calcule o gradiente da temperatura em ( 3,4 ).
c) Calcule o gradiente da temperatura em ( 3,4 ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa a temperatura em uma região do plano:
. Nosso objetivo aqui é calcular o gradiente dessa temperatura no ponto (3,4). Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e como elas se aplicam ao gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, como a temperatura
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cuja magnitude indica a taxa desse aumento. Matematicamente, o gradiente é dado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma de suas variáveis.
Passo 3
Então, para encontrar o gradiente de
, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Vamos começar com
:
Aplicando a regra da cadeia para derivadas:
Passo 4
Agora, vamos calcular
da mesma forma:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de
é dado por:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico (3,4). Primeiro, calculamos
:
Então,
Resposta
O gradiente da temperatura no ponto (3,4) é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
A temperatura em uma região do plano é dado por
.
a) Se a partir do ponto nos movermos no sentido positivo do eixo
, a temperatura aumenta ou diminui? Justifique tua resposta.
a) Se a partir do ponto
Considere a função
Calcule, caso exista,
.
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.