A temperatura em uma região do plano é dado por .
c) Calcule o gradiente da temperatura em ( 3,4 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa a temperatura em uma região do plano: . Nosso objetivo aqui é calcular o gradiente dessa temperatura no ponto (3,4). Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e como elas se aplicam ao gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, como a temperatura , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cuja magnitude indica a taxa desse aumento. Matematicamente, o gradiente é dado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma de suas variáveis.

Passo 3

Então, para encontrar o gradiente de , precisamos calcular as derivadas parciais e .
Vamos começar com :
Aplicando a regra da cadeia para derivadas:

Passo 4

Agora, vamos calcular da mesma forma:

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de é dado por:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico (3,4). Primeiro, calculamos :
Então,

Resposta

O gradiente da temperatura no ponto (3,4) é .

Exercícios relacionados

Mostre que .
A temperatura em uma região do plano é dado por .
a) Se a partir do ponto nos movermos no sentido positivo do eixo , a temperatura aumenta ou diminui? Justifique tua resposta.
Considere a função
Calcule, caso exista, .
Caso contrário, justifique por que o limite não existe.