Considere a função f(x, y)=ccx^2-x y+y^2x^2+y^2 & , se (x, y) neq(0,0) 1 & , se (x, y)=(0,0)
(1 , 0) A função f é diferenciável em (0,0)? (Justifique!)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função f(x, y) = x^2 - x y + y^2x^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 1 & se (x, y) = (0,0) definida de duas formas:
A pergunta é: Será que essa função é diferenciável no ponto (0,0)? Para responder isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade, limites e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função lim(x, y) to (0,0) x^2 - x y + y^2x^2 + y^2 é contínua no ponto (0,0). A diferenciabilidade implica que a função seja contínua nesse ponto, então se não for contínua, já sabemos que não é diferenciável.
Para isso, calculamos o limite de x^2x^2 + y^2 - x yx^2 + y^2 + y^2x^2 + y^2 = x^2 + y^2x^2 + y^2 - x yx^2 + y^2 = 1 - x yx^2 + y^2 quando lim(x, y) to (0,0) (1 - x yx^2 + y^2) = 1 - lim(x, y) to (0,0) x yx^2 + y^2 se aproxima de (0,0):
x cdot xx^2 + x^2 = x^22x^2 = 12
Vamos simplificar a expressão. Se dividirmos numerador e denominador por x cdot (-x)x^2 + x^2 = -x^22x^2 = -12 , obtemos:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) não existe
Então, o limite fica:
Vamos analisar o limite . Testando diferentes caminhos:
  • Se :
  • Se :
Vemos que o limite depende do caminho escolhido, portanto, ele não existe. Isso implica que:
ã
Como e o limite não existe, a função não é contínua em (0,0).

Passo 3

Já que a função não é contínua em (0,0), concluímos que ela não é diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade implica continuidade, então se falta a continuidade, a diferenciabilidade também não existe.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto (0,0) porque ela não é contínua nesse ponto.

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