Considere a função
A função f é diferenciável em (0,0)? (Justifique!)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função definida de duas formas:
A pergunta é: Será que essa função é diferenciável no ponto (0,0)? Para responder isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade, limites e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto (0,0). A diferenciabilidade implica que a função seja contínua nesse ponto, então se não for contínua, já sabemos que não é diferenciável.
Para isso, calculamos o limite de quando se aproxima de (0,0):
Vamos simplificar a expressão. Se dividirmos numerador e denominador por , obtemos:
Então, o limite fica:
Vamos analisar o limite . Testando diferentes caminhos:
  • Se :
  • Se :
Vemos que o limite depende do caminho escolhido, portanto, ele não existe. Isso implica que:
ã
Como e o limite não existe, a função não é contínua em (0,0).

Passo 3

Já que a função não é contínua em (0,0), concluímos que ela não é diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade implica continuidade, então se falta a continuidade, a diferenciabilidade também não existe.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto (0,0) porque ela não é contínua nesse ponto.

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Considere a função
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Caso contrário, justifique por que o(s) limite(s) não existe(m).
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