Considere a função
A função f é diferenciável em (0,0)? (Justifique!)
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função
definida de duas formas:
A pergunta é: Será que essa função é diferenciável no ponto (0,0)? Para responder isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade, limites e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua no ponto (0,0). A diferenciabilidade implica que a função seja contínua nesse ponto, então se não for contínua, já sabemos que não é diferenciável.
Para isso, calculamos o limite de
quando
se aproxima de (0,0):
Vamos simplificar a expressão. Se dividirmos numerador e denominador por
, obtemos:
Então, o limite fica:
Vamos analisar o limite
. Testando diferentes caminhos:
- Se
:
- Se
:
Vemos que o limite depende do caminho escolhido, portanto, ele não existe. Isso implica que:
Como
e o limite não existe, a função não é contínua em (0,0).
Passo 3
Já que a função não é contínua em (0,0), concluímos que ela não é diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade implica continuidade, então se falta a continuidade, a diferenciabilidade também não existe.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto (0,0) porque ela não é contínua nesse ponto.