Suponha que a temperatura em um ponto
do espaço seja dada por
onde T é medida em graus celsius e
e
em metros.
Qual é a taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que representa a temperatura
em um ponto específico do espaço
. O que a gente precisa descobrir é a taxa máxima de crescimento dessa temperatura nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção em que a temperatura aumenta mais rápido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
A função que temos é:
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Então, o gradiente
fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto
na expressão do gradiente.
Primeiro, calculamos o denominador:
Então, o denominador ao quadrado é
.
Substituindo os valores:
Passo 4
A taxa máxima de crescimento da temperatura é dada pelo módulo do gradiente no ponto considerado. Vamos calcular o módulo do vetor
:
Podemos simplificar:
Resposta
A taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto
é aproximadamente
°C/m.
Exercícios relacionados
A temperatura em uma região do plano é dado por
.
b) Em que ponto a temperatura vale
, sabendo que a taxa de variação com relação a distância percorrida na direção do eixo y, sentido positivo, nesse ponto, é igual a
?
b) Em que ponto
Considere a função
A função f é diferenciável em (0,0)? (Justifique!)
Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado:
a) , Resp.:
a)