Suponha que a temperatura em um ponto do espaço seja dada por
onde T é medida em graus celsius e e em metros.
Qual é a taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que representa a temperatura em um ponto específico do espaço . O que a gente precisa descobrir é a taxa máxima de crescimento dessa temperatura nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção em que a temperatura aumenta mais rápido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
A função que temos é:
Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivada em relação a :
  • Derivada em relação a :
  • Derivada em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto na expressão do gradiente.
Primeiro, calculamos o denominador:
Então, o denominador ao quadrado é .
Substituindo os valores:

Passo 4

A taxa máxima de crescimento da temperatura é dada pelo módulo do gradiente no ponto considerado. Vamos calcular o módulo do vetor :
Podemos simplificar:

Resposta

A taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto é aproximadamente °C/m.

Exercícios relacionados

A temperatura em uma região do plano é dado por .
b) Em que ponto a temperatura vale , sabendo que a taxa de variação com relação a distância percorrida na direção do eixo y, sentido positivo, nesse ponto, é igual a ?
Considere a função
A função f é diferenciável em (0,0)? (Justifique!)
Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado:
a) , Resp.: