A temperatura em uma região do plano é dado por T(x, y) = 100 / (x^2 + y^2).
b) Em que ponto (a, b) a temperatura vale 45 graus C, sabendo que a taxa de variação com relação a distância percorrida na direção do eixo y, sentido positivo, nesse ponto, é igual a 12º C/cm ?

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem uma função que descreve a temperatura em uma região do plano: . A pergunta é para achar o ponto onde a temperatura é e a taxa de variação dessa temperatura na direção positiva do eixo y nesse ponto é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e equações matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação de que a temperatura no ponto é . Então temos:
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e :

Passo 3

Agora, vamos olhar para a taxa de variação da temperatura na direção positiva do eixo y, que é a derivada parcial de em relação a :
Sabemos que essa derivada é igual a no ponto :

Passo 4

Já temos da Passo 2 que . Vamos substituir isso na equação da derivada:
Calculando , então:
Simplificando os números:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :

Passo 6

Com o valor de , voltamos à relação para encontrar :
Calculando :
Aproximando:

Resposta

O ponto onde a temperatura é e a taxa de variação na direção positiva do eixo y é é aproximadamente ou .

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