A temperatura em uma região do plano é dado por
.
b) Em que ponto
a temperatura vale
, sabendo que a taxa de variação com relação a distância percorrida na direção do eixo y, sentido positivo, nesse ponto, é igual a
?
b) Em que ponto
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente tem uma função que descreve a temperatura em uma região do plano:
. A pergunta é para achar o ponto
onde a temperatura é
e a taxa de variação dessa temperatura na direção positiva do eixo y nesse ponto é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e equações matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a informação de que a temperatura no ponto
é
. Então temos:
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a taxa de variação da temperatura na direção positiva do eixo y, que é a derivada parcial de
em relação a
:
Sabemos que essa derivada é igual a
no ponto
:
Passo 4
Já temos da Passo 2 que
. Vamos substituir isso na equação da derivada:
Calculando
, então:
Simplificando os números:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Passo 6
Com o valor de
, voltamos à relação
para encontrar
:
Calculando
:
Aproximando:
Resposta
O ponto
onde a temperatura é
e a taxa de variação na direção positiva do eixo y é
é aproximadamente
ou
.
Exercícios relacionados
Considere a função
A função f é diferenciável em (0,0)? (Justifique!)
A temperatura, em graus Celsius, na superficie de uma placa metálica é dada por
, onde
e y são medidos em polegadas. Em que direção a temperatura cresce mais rapidamente no ponto
? Qual a taxa de crescimento?
Resp.: e
.
Resp.:
Suponha que a temperatura em um ponto
do espaço seja dada por
onde T é medida em graus celsius e
e
em metros.
Qual é a taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto
?
Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado:
a) , Resp.:
a)