A temperatura em uma região do plano é dado por .
b) Em que ponto a temperatura vale , sabendo que a taxa de variação com relação a distância percorrida na direção do eixo y, sentido positivo, nesse ponto, é igual a ?

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem uma função que descreve a temperatura em uma região do plano: . A pergunta é para achar o ponto onde a temperatura é e a taxa de variação dessa temperatura na direção positiva do eixo y nesse ponto é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e equações matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação de que a temperatura no ponto é . Então temos:
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e :

Passo 3

Agora, vamos olhar para a taxa de variação da temperatura na direção positiva do eixo y, que é a derivada parcial de em relação a :
Sabemos que essa derivada é igual a no ponto :

Passo 4

Já temos da Passo 2 que . Vamos substituir isso na equação da derivada:
Calculando , então:
Simplificando os números:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :

Passo 6

Com o valor de , voltamos à relação para encontrar :
Calculando :
Aproximando:

Resposta

O ponto onde a temperatura é e a taxa de variação na direção positiva do eixo y é é aproximadamente ou .

Exercícios relacionados

Considere a função
A função f é diferenciável em (0,0)? (Justifique!)
A temperatura, em graus Celsius, na superficie de uma placa metálica é dada por , onde e y são medidos em polegadas. Em que direção a temperatura cresce mais rapidamente no ponto ? Qual a taxa de crescimento?
Resp.: e .
Suponha que a temperatura em um ponto do espaço seja dada por
onde T é medida em graus celsius e e em metros.
Qual é a taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto ?
Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado:
a) , Resp.: