Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema de equações diferenciais que tem condições de contorno. A equação é
com
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar as condições dadas para encontrar o valor da constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, a gente assume uma solução do tipo
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial, temos:
Podemos dividir tudo por
(já que
nunca é zero), ficando:
Passo 4
Essa é a equação característica da nossa equação diferencial. Vamos resolver para
:
Para termos soluções reais e não-triviais, o discriminante precisa ser negativo, ou seja,
que implica
.
Passo 5
Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 6
Aplicando a primeira condição de contorno
:
Então,
. A solução agora fica:
Passo 7
Aplicando a segunda condição de contorno
:
Como
e
não podem ser zero (caso contrário, a solução seria trivial), precisamos que:
Passo 8
A função seno é zero quando o argumento é múltiplo de
. Então:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Passo 9
Para a menor solução não-trivial, tomamos
:
Resposta
O valor da constante
que gera uma solução não-trivial é
.
Exercícios relacionados
Dada a função
, resolva o sistema
e considere a solução
para calcular
determinante da matriz
Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.
Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto para:
Considere a funçāo
nine o limite
, se existir, ou mostre que o limite não existe. āo f é contínua no ponto
?