Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja, , para isso, determine o valor da contante .


Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema de equações diferenciais que tem condições de contorno. A equação é com e . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar as condições dadas para encontrar o valor da constante .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, a gente assume uma solução do tipo , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial, temos:
Podemos dividir tudo por (já que nunca é zero), ficando:

Passo 4

Essa é a equação característica da nossa equação diferencial. Vamos resolver para :
Para termos soluções reais e não-triviais, o discriminante precisa ser negativo, ou seja, que implica .

Passo 5

Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 6

Aplicando a primeira condição de contorno :
Então, . A solução agora fica:

Passo 7

Aplicando a segunda condição de contorno :
Como e não podem ser zero (caso contrário, a solução seria trivial), precisamos que:

Passo 8

A função seno é zero quando o argumento é múltiplo de . Então:
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 9

Para a menor solução não-trivial, tomamos :

Resposta

O valor da constante que gera uma solução não-trivial é .

Exercícios relacionados

Dada a função , resolva o sistema e considere a solução para calcular determinante da matriz
Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja, , para isso, determine o valor da contante .


Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto para:
Considere a funçāo
nine o limite , se existir, ou mostre que o limite não existe. āo f é contínua no ponto ?