Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto para:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
usando o método de separação de variáveis. Esse método ajuda a encontrar soluções que podem ser escritas como o produto de funções de diferentes variáveis. Para isso, vamos precisar entender como separar as variáveis na equação e resolver as equações resultantes.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções:
. Aqui,
depende só de
e
só de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias. A segunda derivada de
em relação a
é:
E a segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação original:
Passo 5
Dividimos ambos os lados da equação por
(desde que nem
nem
sejam zero):
Passo 6
Agora, reorganizamos a equação para isolar as funções de
e
:
Como o lado esquerdo depende somente de
e o lado direito somente de
, ambos devem ser iguais a uma constante, digamos
.
Passo 7
Isso nos dá duas equações separadas:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Vamos resolver a equação para
primeiro:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral:
onde
e
são constantes.
Passo 9
Agora, resolvemos a equação para
:
Essa é uma equação de Euler-Cauchy. A solução geral para esse tipo de equação é:
onde
e
são constantes, e
,
são raízes da equação característica:
Resolvendo, temos:
Passo 10
Finalmente, combinamos as soluções de
e
para obter a solução geral na forma de produto:
Resposta
As soluções na forma de produto para a equação
são:
onde
,
,
,
são constantes e
,
são as raízes da equação
.