Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto para:
x^2 * u_xx + u_yy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Esse método ajuda a encontrar soluções que podem ser escritas como o produto de funções de diferentes variáveis. Para isso, vamos precisar entender como separar as variáveis na equação e resolver as equações resultantes.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções: . Aqui, X depende só de x e Y só de y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias. A segunda derivada de u em relação a x é:
E a segunda derivada de u em relação a y é:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação original:

Passo 5

Dividimos ambos os lados da equação por (desde que nem X nem Y sejam zero):

Passo 6

Agora, reorganizamos a equação para isolar as funções de x e y:
Como o lado esquerdo depende somente de x e o lado direito somente de y, ambos devem ser iguais a uma constante, digamos .

Passo 7

Isso nos dá duas equações separadas:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 8

Vamos resolver a equação para primeiro:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral:
onde A e B são constantes.

Passo 9

Agora, resolvemos a equação para :
Essa é uma equação de Euler-Cauchy. A solução geral para esse tipo de equação é:
onde C e D são constantes, e , são raízes da equação característica:
Resolvendo, temos:

Passo 10

Finalmente, combinamos as soluções de e para obter a solução geral na forma de produto:

Resposta

As soluções na forma de produto para a equação são:
onde C, D, A, B são constantes e , são as raízes da equação .

Exercícios relacionados