Considere a função,
A função é contínua em ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por:
A pergunta é: Essa função é contínua no ponto ? Para responder isso, vamos usar o conceito de continuidade em vários pontos, que basicamente diz que para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de tem que ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se:
No nosso caso, queremos que:
Então, precisamos calcular esse limite e ver se ele dá zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Às vezes, é útil olhar o limite por diferentes caminhos para ver se o resultado é consistente.
Vamos começar examinando dois caminhos bem simples:
  1. Caminho :
    Substituindo na função:
    Então, o limite por esse caminho é 0.
  2. Caminho :
    Substituindo na função:
    Novamente, o limite por esse caminho é 0.
Até aqui, tudo certo, mas precisamos verificar mais caminhos para ter certeza.

Passo 4

Vamos tentar um caminho mais geral, onde , sendo uma constante. Isso nos ajuda a ver se o limite depende do caminho escolhido.
Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando :
Veja que esse limite depende do valor de . Por exemplo:
  • Para , temos
  • Para , temos
  • Para , já vimos que dá 0
Isso significa que o limite de conforme se aproxima de depende do caminho que a gente escolhe, ou seja, ele não é o mesmo para todos os caminhos.

Passo 5

Como o limite depende do caminho escolhido, ele não existe de forma única. Para a função ser contínua em , o limite teria que ser o mesmo independente do caminho, e ainda igual a .
Mas, como vimos, ao aproximar por diferentes caminhos, o limite pode ser 0, 1, , etc. Portanto, o limite não existe de forma geral.

Resposta

Não, a função não é contínua em , pois o limite de quando se aproxima de depende do caminho escolhido e, portanto, não existe um limite único igual a .

Exercícios relacionados

Dada a função , com . Use (a) para encontrar um valor para a soma
Determine se cada equação é ou não separável:
Resolva o PVI .
Determine se cada equação é ou não separável: