Considere a função,
A função
é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida por:
A pergunta é: Essa função
é contínua no ponto
? Para responder isso, vamos usar o conceito de continuidade em vários pontos, que basicamente diz que para a função ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
tem que ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
No nosso caso, queremos que:
Então, precisamos calcular esse limite e ver se ele dá zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Às vezes, é útil olhar o limite por diferentes caminhos para ver se o resultado é consistente.
Vamos começar examinando dois caminhos bem simples:
-
Caminho
: Substituindona função: Então, o limite por esse caminho é 0. -
Caminho
: Substituindona função: Novamente, o limite por esse caminho é 0.
Até aqui, tudo certo, mas precisamos verificar mais caminhos para ter certeza.
Passo 4
Vamos tentar um caminho mais geral, onde
, sendo
uma constante. Isso nos ajuda a ver se o limite depende do caminho escolhido.
Substituindo
na função:
Agora, calculando o limite quando
:
Veja que esse limite depende do valor de
. Por exemplo:
- Para
, temos - Para
, temos - Para
, já vimos que dá 0
Isso significa que o limite de
conforme
se aproxima de
depende do caminho que a gente escolhe, ou seja, ele não é o mesmo para todos os caminhos.
Passo 5
Como o limite depende do caminho escolhido, ele não existe de forma única. Para a função ser contínua em
, o limite teria que ser o mesmo independente do caminho, e ainda igual a
.
Mas, como vimos, ao aproximar por diferentes caminhos, o limite pode ser 0, 1,
, etc. Portanto, o limite não existe de forma geral.
Resposta
Não, a função
não é contínua em
, pois o limite de
quando
se aproxima de
depende do caminho escolhido e, portanto, não existe um limite único igual a
.
Exercícios relacionados
Dada a função
, com
. Use (a) para encontrar um valor para a soma
Determine se cada equação é ou não separável:
Resolva o PVI
.
Determine se cada equação é ou não separável: