Dada a função
, com
. Use (a) para encontrar um valor para a soma
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
e estendida de forma periódica com período 2, ou seja,
. A pergunta quer que a gente use essa informação para encontrar o valor da soma infinita
.
Aqui, vamos precisar trabalhar com séries de Fourier, que são uma forma de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Vamos seguir os passos para encontrar essa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer função periódica pode ser expressa como uma série de Fourier, que no nosso caso será uma série de cossenos porque a função
é uma função par (simétrica em relação ao eixo y).
A série de Fourier para
no intervalo
será:
Onde os coeficientes
são calculados pela fórmula:
Passo 3
Vamos calcular os coeficientes
. Primeiro, encontramos
:
Agora, para
onde
:
Como
é uma função par e
também é par, o produto é par, então podemos simplificar a integral:
Esse cálculo envolve integração por partes, mas o resultado final é:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na série de Fourier:
Passo 5
Para encontrar a soma que a questão pede, vamos avaliar a série em
:
Substituindo
na série de Fourier:
Como
, temos:
Passo 6
Vamos isolar a soma:
Multiplicando ambos os lados por
:
Note que a soma original na questão é
, que é equivalente a:
Resposta
O valor da soma
é
.
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Determine se cada equação é ou não separável:
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Considere a função,
A função
é contínua em
? Justifique.
Resolva o PVI
.