Dada a função , com . Use (a) para encontrar um valor para a soma

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo e estendida de forma periódica com período 2, ou seja, . A pergunta quer que a gente use essa informação para encontrar o valor da soma infinita .
Aqui, vamos precisar trabalhar com séries de Fourier, que são uma forma de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Vamos seguir os passos para encontrar essa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer função periódica pode ser expressa como uma série de Fourier, que no nosso caso será uma série de cossenos porque a função é uma função par (simétrica em relação ao eixo y).
A série de Fourier para no intervalo será:
Onde os coeficientes são calculados pela fórmula:

Passo 3

Vamos calcular os coeficientes . Primeiro, encontramos :
Agora, para onde :
Como é uma função par e também é par, o produto é par, então podemos simplificar a integral:
Esse cálculo envolve integração por partes, mas o resultado final é:

Passo 4

Agora, substituímos e na série de Fourier:

Passo 5

Para encontrar a soma que a questão pede, vamos avaliar a série em :
Substituindo na série de Fourier:
Como , temos:

Passo 6

Vamos isolar a soma:
Multiplicando ambos os lados por :
Note que a soma original na questão é , que é equivalente a:

Resposta

O valor da soma é .

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Determine se cada equação é ou não separável:
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Considere a função,
A função é contínua em ? Justifique.
Resolva o PVI .