Considere a função
é contínua em
?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
que é definida de formas diferentes dependendo dos valores de
e
. Queremos saber se essa função é contínua no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para
ser contínua em
, precisamos que:
Sabemos que
, então nosso objetivo é calcular o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função para
é:
Para encontrar o limite, podemos tentar diferentes caminhos de aproximação para ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 4
Primeiro, vamos aproximar-nos de
ao longo do eixo
, ou seja, deixando
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos aproximar-nos de
ao longo do eixo
, deixando
:
Então,
Passo 6
Vamos tentar um caminho mais geral, por exemplo,
, onde
é uma constante:
Então,
Passo 7
Vimos que, ao aproximar de diferentes caminhos, o limite sempre dá 0. Para confirmar, vamos usar coordenadas polares. Substituindo
e
:
Então,
Resposta
A função
é contínua em
porque o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
.
Exercícios relacionados
Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule:
Determine o gradiente de cada função abaixo:
Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule:
Determine o gradiente de cada função abaixo: