Considere a função é contínua em ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é definida de formas diferentes dependendo dos valores de e . Queremos saber se essa função é contínua no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para ser contínua em , precisamos que:
Sabemos que , então nosso objetivo é calcular o limite de quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . A função para é:
Para encontrar o limite, podemos tentar diferentes caminhos de aproximação para ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 4

Primeiro, vamos aproximar-nos de ao longo do eixo , ou seja, deixando :
Então,

Passo 5

Agora, vamos aproximar-nos de ao longo do eixo , deixando :
Então,

Passo 6

Vamos tentar um caminho mais geral, por exemplo, , onde é uma constante:
Então,

Passo 7

Vimos que, ao aproximar de diferentes caminhos, o limite sempre dá 0. Para confirmar, vamos usar coordenadas polares. Substituindo e :
Então,

Resposta

A função é contínua em porque o limite de quando se aproxima de é igual a .

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Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a 3 na direção e igual a -1 na direção . Calcule:
Determine o gradiente de cada função abaixo:
Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a 3 na direção e igual a -1 na direção . Calcule:
Determine o gradiente de cada função abaixo: