Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função diferenciável
no ponto
. Sabemos que a derivada direcional de
nessa direção
é igual a 3, e na direção
é igual a -1. Nosso objetivo é descobrir qual é a derivada parcial de
em relação a
nesse ponto, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como ela se relaciona com as derivadas parciais. Vamos usar um pouco de álgebra para montar um sistema de equações que vai nos ajudar a encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de
na direção de um vetor
é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
, que é
, e
é o comprimento (ou módulo) do vetor
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para a primeira direção
:
- Calcular o módulo do vetor:
- Escrever a derivada direcional:
Multiplicando ambos os lados por 5:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda direção
:
- Calcular o módulo do vetor:
- Escrever a derivada direcional:
Multiplicando ambos os lados por 5:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da adição para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a Equação 1 por 3 e a Equação 2 por 4:
Somando as duas equações:
Dividindo ambos os lados por 25:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o gradiente de cada função abaixo:
Considere a função
é contínua em
?
Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule: