Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a 3 na direção e igual a -1 na direção . Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função diferenciável no ponto . Sabemos que a derivada direcional de nessa direção é igual a 3, e na direção é igual a -1. Nosso objetivo é descobrir qual é a derivada parcial de em relação a nesse ponto, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como ela se relaciona com as derivadas parciais. Vamos usar um pouco de álgebra para montar um sistema de equações que vai nos ajudar a encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de na direção de um vetor é dada por:
Aqui, é o gradiente de , que é , e é o comprimento (ou módulo) do vetor .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para a primeira direção :
  1. Calcular o módulo do vetor:
  1. Escrever a derivada direcional:
Multiplicando ambos os lados por 5:
çã

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda direção :
  1. Calcular o módulo do vetor:
  1. Escrever a derivada direcional:
Multiplicando ambos os lados por 5:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da adição para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a Equação 1 por 3 e a Equação 2 por 4:
Somando as duas equações:
Dividindo ambos os lados por 25:

Resposta

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Determine o gradiente de cada função abaixo:
Considere a função é contínua em ?
Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a 3 na direção e igual a -1 na direção . Calcule: