Uma função diferenciável f tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 3 na direção 3 i+4 j e igual a -1 na direção 4 i-3 j. Calcule: partial fpartial x(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função diferenciável no ponto . Sabemos que a derivada direcional de nessa direção é igual a 3, e na direção é igual a -1. Nosso objetivo é descobrir qual é a derivada parcial de em relação a nesse ponto, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como ela se relaciona com as derivadas parciais. Vamos usar um pouco de álgebra para montar um sistema de equações que vai nos ajudar a encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de Duf = nabla f cdot u|u| na direção de um vetor é dada por:
Aqui, é o gradiente de , que é , e é o comprimento (ou módulo) do vetor .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para a primeira direção |u1| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 :
  1. Calcular o módulo do vetor:
3 = nabla f cdot 3i + 4j5 = 3 partial fpartial x + 4 partial fpartial y5
  1. Escrever a derivada direcional:
3 partial fpartial x + 4 partial fpartial y = 15 (Equação 1)
Multiplicando ambos os lados por 5:
çã

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda direção |u2| = raiz4^2 + (-3)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5 :
  1. Calcular o módulo do vetor:
-1 = nabla f cdot 4i - 3j5 = 4 partial fpartial x - 3 partial fpartial y5
  1. Escrever a derivada direcional:
4 partial fpartial x - 3 partial fpartial y = -5 (Equação 2)
Multiplicando ambos os lados por 5:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( 3 partial fpartial x + 4 partial fpartial y = 15 (Equação 1) 4 partial fpartial x - 3 partial fpartial y = -5 (Equação 2) e 9 partial fpartial x + 12 partial fpartial y = 45 16 partial fpartial x - 12 partial fpartial y = -20 ):
25 partial fpartial x = 25 çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da adição para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a Equação 1 por 3 e a Equação 2 por 4:
partial fpartial x = 1
Somando as duas equações:
Dividindo ambos os lados por 25:

Resposta

partial fpartial x(1,1) = 1

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