Determine o gradiente de cada função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um conceito de cálculo vetorial que mostra a direção e a taxa de variação máxima de uma função. Para achar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é simplesmente , porque é tratado como constante. - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
.
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
.
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Resposta
O gradiente da função
é dado por:
Exercícios relacionados
O wronskiano de duas funções é
. As funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Por quê?
Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule:
Considere a função
é contínua em
?