Determine o gradiente de cada função abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o gradiente da função . O gradiente é um conceito de cálculo vetorial que mostra a direção e a taxa de variação máxima de uma função. Para achar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é simplesmente , porque é tratado como constante.
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , .
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , .
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Resposta

O gradiente da função é dado por:

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