Determine o gradiente de cada função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e envolve calcular as derivadas parciais em relação a
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como aplicá-las em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função
é representado por
e é dado por:
Isso significa que precisamos calcular a derivada de
em relação a
e a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante. A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, a função é
. Ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante. A derivada de
em relação a
é
multiplicada pela derivada de
em relação a
. Aqui,
, então
.
Portanto:
Resposta
O gradiente da função
é:
Exercícios relacionados
Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule:
Considere a função
é contínua em
?
Determine o gradiente de cada função abaixo:
Determine o gradiente de cada função abaixo: