Determine o gradiente de cada função abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e envolve calcular as derivadas parciais em relação a e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como aplicá-las em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função é representado por e é dado por:
Isso significa que precisamos calcular a derivada de em relação a e a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . Ao derivar em relação a , tratamos como uma constante. A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, a função é . Ao derivar em relação a , tratamos como uma constante. A derivada de em relação a é multiplicada pela derivada de em relação a . Aqui, , então .
Portanto:

Resposta

O gradiente da função é:

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Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a 3 na direção e igual a -1 na direção . Calcule:
Considere a função é contínua em ?
Determine o gradiente de cada função abaixo:
Determine o gradiente de cada função abaixo: