Uma função diferenciável f tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 3 na direção 3 i+4 j e igual a -1 na direção 4 i-3 j. Calcule: partial fpartial y(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma função diferenciável no ponto . A gente sabe as derivadas direcionais dessa função em duas direções específicas: na direção de que é igual a 3, e na direção de que é igual a -1. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção qualquer pode ser calculada usando o gradiente da função. O gradiente nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais:
Du f = nabla f cdot u
A derivada direcional na direção de um vetor é dada por:

Passo 3

Antes de mais nada, precisamos transformar os vetores de direção em vetores unitários, porque a fórmula da derivada direcional usa vetores de comprimento 1.
Para o primeiro vetor | v1 | = raiz3^2 + 4^2 = 5 :
u1 = ( 35, 45 )
Portanto, o vetor unitário na direção de | v2 | = raiz4^2 + (-3)^2 = 5 é:
u2 = ( 45, -35 )
Para o segundo vetor :
E o vetor unitário correspondente é:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional para cada vetor unitário dado:
Para Du1 f = nabla f cdot u1 = 35 cdot partial fpartial x + 45 cdot partial fpartial y = 3 :
Du2 f = nabla f cdot u2 = 45 cdot partial fpartial x + -35 cdot partial fpartial y = -1
Para :

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( 35 fx + 45 fy = 3 45 fx - 35 fy = -1 e 3 fx + 4 fy = 15 4 fx - 3 fy = -5 ):
Vamos multiplicar todas as equações por 5 para facilitar:

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da combinação linear. Vamos optar pela combinação linear.
Multiplicamos a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar 12 fx + 16 fy = 60 12 fx - 9 fy = -15 :
(12 fx + 16 fy) - (12 fx - 9 fy) = 60 - (-15)
Subtraindo a segunda equação da primeira:
25 fy = 75

Passo 7

Agora, isolamos fy = 7525 = 3 :

Resposta

partial fpartial y(1,1) = 3

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