Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma função diferenciável
no ponto
. A gente sabe as derivadas direcionais dessa função em duas direções específicas: na direção de
que é igual a 3, e na direção de
que é igual a -1. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção qualquer pode ser calculada usando o gradiente da função. O gradiente
é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais:
A derivada direcional na direção de um vetor
é dada por:
Passo 3
Antes de mais nada, precisamos transformar os vetores de direção em vetores unitários, porque a fórmula da derivada direcional usa vetores de comprimento 1.
Para o primeiro vetor
:
Portanto, o vetor unitário na direção de
é:
Para o segundo vetor
:
E o vetor unitário correspondente é:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional para cada vetor unitário dado:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Vamos multiplicar todas as equações por 5 para facilitar:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da combinação linear. Vamos optar pela combinação linear.
Multiplicamos a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar
:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 7
Agora, isolamos
: