Considere a função
Mostre que e existem, mas não é diferenciável em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, , definida de uma forma específica quando é diferente de e é zero quando . O objetivo aqui é mostrar duas coisas:
As derivadas parciais de em relação a e no ponto existem.
A função não é diferenciável nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e o que significa uma função ser diferenciável. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto . A derivada parcial em no ponto é definida como:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 3
Vamos substituir os valores na expressão:
Então:
Portanto, existe e é igual a 0.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto . A derivada parcial em no ponto é definida como:
Vamos calcular isso também.
Passo 5
Substituindo os valores:
Então:
Portanto, também existe e é igual a 0.
Passo 6
Agora que vimos que as derivadas parciais em e no ponto existem e são iguais a 0, vamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto. Para isso, precisamos verificar se o limite que define a diferenciabilidade existe:
Como e , a expressão simplifica para:
Vamos analisar esse limite.
Passo 7
Substituindo :
Vamos analisar o comportamento dessa função quando . Para verificar se o limite é realmente zero, podemos testar diferentes caminhos de abordagem.
Passo 8
Vamos tentar o caminho onde . Substituindo:
O limite ao longo desse caminho é , que não é zero. Portanto, o limite geral não existe.
Resposta
Os limites das derivadas parciais e existem e são iguais a zero, mas a função não é diferenciável em .