Considere a função
Mostre que
e
existem, mas
não é diferenciável em
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
, definida de uma forma específica quando
é diferente de
e é zero quando
. O objetivo aqui é mostrar duas coisas:
- As derivadas parciais de
em relação a e no ponto existem. - A função
não é diferenciável nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e o que significa uma função ser diferenciável. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A derivada parcial em
no ponto
é definida como:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 3
Vamos substituir os valores na expressão:
Então:
Portanto,
existe e é igual a 0.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A derivada parcial em
no ponto
é definida como:
Vamos calcular isso também.
Passo 5
Substituindo os valores:
Então:
Portanto,
também existe e é igual a 0.
Passo 6
Agora que vimos que as derivadas parciais em
e
no ponto
existem e são iguais a 0, vamos verificar se a função
é diferenciável nesse ponto. Para isso, precisamos verificar se o limite que define a diferenciabilidade existe:
Como
e
, a expressão simplifica para:
Vamos analisar esse limite.
Passo 7
Substituindo
:
Vamos analisar o comportamento dessa função quando
. Para verificar se o limite é realmente zero, podemos testar diferentes caminhos de abordagem.
Passo 8
Vamos tentar o caminho onde
. Substituindo:
O limite ao longo desse caminho é
, que não é zero. Portanto, o limite geral não existe.
Resposta
Os limites das derivadas parciais
e
existem e são iguais a zero, mas a função
não é diferenciável em
.