Considere a função f(x, y) = { (x^2 * y) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0) }
Mostre que fx(0,0) e f_y(0,0) existem, mas f não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, , definida de uma forma específica quando é diferente de e é zero quando . O objetivo aqui é mostrar duas coisas:
  1. As derivadas parciais de em relação a e no ponto existem.
  2. A função não é diferenciável nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e o que significa uma função ser diferenciável. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto . A derivada parcial em no ponto é definida como:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Vamos substituir os valores na expressão:
Então:
Portanto, existe e é igual a 0.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto . A derivada parcial em no ponto é definida como:
Vamos calcular isso também.

Passo 5

Substituindo os valores:
Então:
Portanto, também existe e é igual a 0.

Passo 6

Agora que vimos que as derivadas parciais em e no ponto existem e são iguais a 0, vamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto. Para isso, precisamos verificar se o limite que define a diferenciabilidade existe:
Como e , a expressão simplifica para:
Vamos analisar esse limite.

Passo 7

Substituindo :
Vamos analisar o comportamento dessa função quando . Para verificar se o limite é realmente zero, podemos testar diferentes caminhos de abordagem.

Passo 8

Vamos tentar o caminho onde . Substituindo:
O limite ao longo desse caminho é , que não é zero. Portanto, o limite geral não existe.

Resposta

Os limites das derivadas parciais e existem e são iguais a zero, mas a função não é diferenciável em .

Exercícios relacionados

Determine (com justificativa) o conjunto dos pontos nos quais as funções abaixo são diferenciáveis:
f(x, y) = |x + y|.
Utilize a Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t :
z=sin theta cos phi, theta=s t^2, phi=s^2 t;
Seja f(x, y)=ccx^2 sin ((x^2+y^2)^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0)
Verifique que f é contínua em (0,0).
Determine (com justificativa) o conjunto dos pontos nos quais as funções abaixo são diferenciáveis:
f é uma função racional;