Utilize a Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t :
z=sin theta cos phi, theta=s t^2, phi=s^2 t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Regra da Cadeia. O problema nos pede para encontrar as derivadas parciais de z = sin theta cos phi em relação a theta = s t^2 e phi = s^2 t , onde:
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções de várias variáveis. Basicamente, vamos calcular como muda quando mudamos e , considerando que e também dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial zpartial s = partial zpartial theta cdot partial thetapartial s + partial zpartial phi cdot partial phipartial s em relação a , ou seja, . Usando a Regra da Cadeia, temos:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente.

Passo 3

Calculando partial zpartial theta = partialpartial theta (sin theta cos phi) = cos theta cos phi :
partial thetapartial s = partialpartial s (s t^2) = t^2
Agora, calculando :

Passo 4

Em seguida, calculamos partial zpartial phi = partialpartial phi (sin theta cos phi) = -sin theta sin phi :
partial phipartial s = partialpartial s (s^2 t) = 2 s t
E :

Passo 5

Agora, juntando tudo para partial zpartial s = cos theta cos phi cdot t^2 + (-sin theta sin phi) cdot 2 s t :
partial zpartial s = t^2 cos theta cos phi - 2 s t sin theta sin phi
Simplificando:

Passo 6

Agora vamos calcular partial zpartial t = partial zpartial theta cdot partial thetapartial t + partial zpartial phi cdot partial phipartial t usando a Regra da Cadeia:
Vamos novamente calcular cada derivada separadamente.

Passo 7

Já sabemos que:
partial zpartial theta = cos theta cos phi
Agora, calculando partial thetapartial t = partialpartial t (s t^2) = 2 s t :

Passo 8

Também temos:
partial zpartial phi = -sin theta sin phi
E agora, calculando partial phipartial t = partialpartial t (s^2 t) = s^2 :

Passo 9

Juntando tudo para partial zpartial t = cos theta cos phi cdot 2 s t + (-sin theta sin phi) cdot s^2 :
partial zpartial t = 2 s t cos theta cos phi - s^2 sin theta sin phi
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = t^2 cos theta cos phi - 2 s t sin theta sin phi
e
partial zpartial t = 2 s t cos theta cos phi - s^2 sin theta sin phi

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