Determine (com justificativa) o conjunto dos pontos nos quais as funções abaixo são diferenciáveis:
f(x, y) = |x + y|.

Passo 1

No enunciado, a gente precisa descobrir em quais pontos a função é diferenciável. Vamos trabalhar com o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciação de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e identificar onde possíveis não-diferenciabilidades podem ocorrer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais contínuas nesse ponto. No caso de , a expressão dentro do valor absoluto é .

Passo 3

A função valor absoluto, , não é diferenciável exatamente quando , ou seja, quando .

Passo 4

Então, a função será diferenciável em todos os pontos onde .

Resposta

A função é diferenciável em todo ponto do plano, exceto onde . Ou seja, o conjunto dos pontos onde f é diferenciável é .

Exercícios relacionados

Utilize a Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t :
z=sin theta cos phi, theta=s t^2, phi=s^2 t;
Seja f(x, y)=ccx^2 sin ((x^2+y^2)^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0)
A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta.
Considere a função f(x, y) = { (x^2 * y) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0) }
Mostre que fx(0,0) e f_y(0,0) existem, mas f não é diferenciável em (0,0).
Seja f(x, y)=ccx^2 sin ((x^2+y^2)^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0)
Verifique que f é contínua em (0,0).