Determine (com justificativa) o conjunto dos pontos nos quais as funções abaixo são diferenciáveis:
.
Passo 1
No enunciado, a gente precisa descobrir em quais pontos a função
é diferenciável. Vamos trabalhar com o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciação de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e identificar onde possíveis não-diferenciabilidades podem ocorrer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais contínuas nesse ponto. No caso de
, a expressão dentro do valor absoluto é
.
Passo 3
A função valor absoluto,
, não é diferenciável exatamente quando
, ou seja, quando
.
Passo 4
Então, a função
será diferenciável em todos os pontos onde
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo ponto do plano, exceto onde
. Ou seja, o conjunto dos pontos onde f é diferenciável é
.