integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-y^2 x y d z d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla dada:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-y^2 x y , dz , dy , dx
Este exercício envolve o cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna , seguida de e, por fim, .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral mais interna em relação a integralraizx^2+y^2^raiz2-y^2 x y , dz :
x y ( raiz2 - y^2 - raizx^2 + y^2 )
Como e são constantes em relação a , podemos simplificar:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado na integral em relação a integral0^raiz1 - x^2 x y ( raiz2 - y^2 - raizx^2 + y^2 ) dy :
x integral0^raiz1 - x^2 y raiz2 - y^2 , dy - x integral0^raiz1 - x^2 y raizx^2 + y^2 , dy
Podemos distribuir dentro dos parênteses:

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
integral y raiz2 - y^2 , dy
Usamos a substituição -12 integral raizu , du = -12 cdot 23 u^3/2 + C = -13 (2 - y^2)^3/2 + C , então -13 (2 - (1 - x^2))^3/2 + 13 (2)^3/2 = -13 (1 + x^2)^3/2 + 2raiz23 ou . A integral fica:
Avaliada de 0 a :

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral y raizx^2 + y^2 , dy
Usamos a substituição 12 integral raizu , du = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 (x^2 + y^2)^3/2 + C , então 13 (x^2 + (1 - x^2))^3/2 - 13 (x^2)^3/2 = 13 (1)^3/2 - 13 x^3 = 13 - 13 x^3 ou . A integral fica:
Avaliada de 0 a :

Passo 6

Combinando os resultados das duas integrais, temos:
x [ -13 (1 + x^2)^3/2 + 2raiz23 - ( 13 - 13 x^3 ) ] = x [ -13 (1 + x^2)^3/2 + 2raiz23 - 13 + x^33 ]
Simplificando:
x ( x^33 - 13 (1 + x^2)^3/2 + 2raiz2 - 13 )

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a integral0^1 ( x^43 - x3 (1 + x^2)^3/2 + 2raiz2 - 13 x ) dx de 0 a 1:
115 - 4raiz215 + 2raiz2 - 16 = 2raiz2 - 130
Essa integral pode ser resolvida termo a termo:
Somando todos os termos:

Resposta

O valor da integral tripla é:
boxed2raiz2 - 130

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