Considere a função definida em um domínio determinado pelas inequações:

(b) Se , represente as curvas de nívels e dessa função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para representarmos as curvas de nível da função para os valores e dentro do domínio definido pelas inequações:
Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas se comportam dentro desse domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, como , uma curva de nível para um valor é o conjunto de pontos onde a função assume esse valor, ou seja:
No nosso caso, temos . Então, para :
E para :
Essas são equações de retas no plano .

Passo 3

Agora, vamos representar essas retas graficamente dentro do domínio definido pelas inequações. Primeiro, precisamos entender como é esse domínio.
As inequações dadas são:
Essas inequações definem uma região no primeiro quadrante (já que e são não negativos) limitada pelas duas retas:

Passo 4

Vamos traçar as retas das curvas de nível dentro desse domínio.
Para :
Pode ser reescrita para . Essa é uma reta com intercepto em e declive -1.
Para :
Reescrevendo para . Essa reta tem intercepto em e o mesmo declive -1.

Passo 5

Agora, vamos verificar onde essas retas se interceptam com o domínio definido pelas outras inequações.
Vamos calcular os pontos de interseção das curvas de nível com as fronteiras do domínio.
Para :
  1. Interseção com :
    Resolvendo esse sistema, encontramos os pontos de interseção.
  2. Interseção com :
    Resolvendo esse sistema também nos dá outro ponto de interseção.
Para :
Repetimos o mesmo processo substituindo .

Passo 6

Resolvendo os sistemas:
Para :
  1. Sistema:
    Multiplicando a segunda equação por 10:
    Subtraindo a primeira equação:
    Substituindo em :
    Então, o ponto é .
  2. Sistema:
    Multiplicando a segunda equação por 10:
    Subtraindo a primeira equação:
    Substituindo em :
    Então, o ponto é .
Para :
  1. Sistema:
    Multiplicando a segunda equação por 10:
    Subtraindo a primeira equação:
    Substituindo em :
    Então, o ponto é .
  2. Sistema:
    Multiplicando a segunda equação por 10:
    Subtraindo a primeira equação:
    Substituindo em :
    Então, o ponto é .

Resposta

As curvas de nível da função para e são as retas:
Dentro do domínio definido, essas retas conectam os pontos a para e a para .

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c)
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e
Em cada parte, verifique se a função é contínua em .
d)
Determine o valor lógico das seguintes proposições, justificando sua resposta: © e ou .