Uma firma opera segundo a função de produção P(K, L) = 2 K^0,75 L^0,25, sendo que:
  • P é quantidade produzida por dia (em unidades)
  • K é o número de máquinas empregadas
  • L é o número de homens-hora empregados
    © Se K é mantido constante em 16 unidades, mostre que P aumenta com L a taxas decrescentes.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente tem uma função de produção , onde:
  • P é a quantidade produzida por dia,
  • K é o número de máquinas,
  • L é o número de homens-hora.
A questão quer que a gente mostre que, se mantivermos o número de máquinas ( K) fixo em 16 unidades, a produção ( P) aumenta conforme aumentamos L, mas essa taxa de aumento diminui. Para resolver, vamos precisar entender de derivadas para analisar como a produção muda quando alteramos L.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir K por 16 na função de produção. Assim, a função fica só em termos de L:
Vamos calcular :
Então, a função simplificada é:

Passo 3

Agora, precisamos ver como P muda conforme L aumenta. Para isso, vamos derivar em relação a L:
Essa derivada nos mostra a taxa de variação da produção em relação a L. Como , à medida que L aumenta, diminui, o que significa que está diminuindo.

Passo 4

Para confirmar que a taxa de aumento está realmente diminuindo, vamos derivar novamente a função :
A segunda derivada é negativa, o que indica que a função está curvando para baixo. Isso confirma que a taxa de aumento da produção está diminuindo conforme L cresce.

Resposta

Quando o número de máquinas K é mantido constante em 16, a produção P aumenta com L, mas essa taxa de aumento diminui conforme L aumenta, mostrando que P cresce a taxas decrescentes.

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