Uma firma opera segundo a função de produção , sendo que:
  • é quantidade produzida por dia (em unidades)
  • é o número de máquinas empregadas
  • é o número de homens-hora empregados
    © Se é mantido constante em 16 unidades, mostre que aumenta com a taxas decrescentes.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente tem uma função de produção , onde:
  • é a quantidade produzida por dia,
  • é o número de máquinas,
  • é o número de homens-hora.
A questão quer que a gente mostre que, se mantivermos o número de máquinas ( ) fixo em 16 unidades, a produção ( ) aumenta conforme aumentamos , mas essa taxa de aumento diminui. Para resolver, vamos precisar entender de derivadas para analisar como a produção muda quando alteramos .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por 16 na função de produção. Assim, a função fica só em termos de :
Vamos calcular :
Então, a função simplificada é:

Passo 3

Agora, precisamos ver como muda conforme aumenta. Para isso, vamos derivar em relação a :
Essa derivada nos mostra a taxa de variação da produção em relação a . Como , à medida que aumenta, diminui, o que significa que está diminuindo.

Passo 4

Para confirmar que a taxa de aumento está realmente diminuindo, vamos derivar novamente a função :
A segunda derivada é negativa, o que indica que a função está curvando para baixo. Isso confirma que a taxa de aumento da produção está diminuindo conforme cresce.

Resposta

Quando o número de máquinas é mantido constante em 16, a produção aumenta com , mas essa taxa de aumento diminui conforme aumenta, mostrando que cresce a taxas decrescentes.

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b)
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c)
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