Uma firma opera segundo a função de produção
, sendo que:
-
é quantidade produzida por dia (em unidades)
-
é o número de máquinas empregadas
-
é o número de homens-hora empregados
© Se
é mantido constante em 16 unidades, mostre que
aumenta com
a taxas decrescentes.
© Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente tem uma função de produção
, onde:
-
é a quantidade produzida por dia, -
é o número de máquinas, -
é o número de homens-hora.
A questão quer que a gente mostre que, se mantivermos o número de máquinas (
) fixo em 16 unidades, a produção (
) aumenta conforme aumentamos
, mas essa taxa de aumento diminui. Para resolver, vamos precisar entender de derivadas para analisar como a produção muda quando alteramos
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por 16 na função de produção. Assim, a função fica só em termos de
:
Vamos calcular
:
Então, a função simplificada é:
Passo 3
Agora, precisamos ver como
muda conforme
aumenta. Para isso, vamos derivar
em relação a
:
Essa derivada nos mostra a taxa de variação da produção em relação a
. Como
, à medida que
aumenta,
diminui, o que significa que
está diminuindo.
Passo 4
Para confirmar que a taxa de aumento está realmente diminuindo, vamos derivar novamente a função
:
A segunda derivada é negativa, o que indica que a função
está curvando para baixo. Isso confirma que a taxa de aumento da produção está diminuindo conforme
cresce.
Resposta
Quando o número de máquinas
é mantido constante em 16, a produção
aumenta com
, mas essa taxa de aumento diminui conforme
aumenta, mostrando que
cresce a taxas decrescentes.