Considere a função definida em um domínio determinado pelas inequações:

© Qual a curva de maior nível de que intercepta ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a curva de maior nível da função que intercepta o domínio . O domínio é definido por algumas inequações que delimitam as condições de e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica e Otimização. Precisaremos identificar os pontos de interseção das inequações que formam e então determinar qual curva de nível de toca o domínio no ponto mais alto possível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o domínio . As inequações que definem são:
Essas inequações representam duas retas e as restrições de que e são positivos. Vamos transformar as inequações lineares para a forma padrão para facilitar o desenho das retas.

Passo 3

Transformando as primeiras duas inequações:
  1. pode ser reescrita como:
  2. pode ser reescrita como:
Agora, temos duas retas:
Essas retas, junto com e , formam um polígono que é o domínio .

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para identificar os vértices do domínio .
  1. Interseção das duas retas:
    Resolvendo para :
    Substituindo em uma das equações:
    Então, o ponto de interseção é .
  2. Interseção com os eixos:
    • Para na primeira inequação: → ponto .
    • Para na segunda inequação: → ponto .
Portanto, os vértices do domínio são:

Passo 5

Agora, vamos considerar a função . Como o enunciado não especifica, vamos supor que seja linear, por exemplo:
As curvas de nível dessa função são linhas onde , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar o maior valor de tal que a linha ainda toque o domínio .

Passo 6

Para encontrar o maior , vamos calcular o valor de em cada um dos vértices do domínio :
  1. Em :
  2. Em :
  3. Em :
  4. Em :
O maior valor de obtido foi .

Resposta

A curva de maior nível que intercepta é .

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