Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a curva de maior nível da função que intercepta o domínio . O domínio é definido por algumas inequações que delimitam as condições de e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica e Otimização. Precisaremos identificar os pontos de interseção das inequações que formam e então determinar qual curva de nível de toca o domínio no ponto mais alto possível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o domínio . As inequações que definem são:
Essas inequações representam duas retas e as restrições de que e são positivos. Vamos transformar as inequações lineares para a forma padrão para facilitar o desenho das retas.
Passo 3
Transformando as primeiras duas inequações:
pode ser reescrita como:
pode ser reescrita como:
Agora, temos duas retas:
Essas retas, junto com e , formam um polígono que é o domínio .
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para identificar os vértices do domínio .
Interseção das duas retas:
Resolvendo para :
Substituindo em uma das equações:
Então, o ponto de interseção é .
Interseção com os eixos:
Para na primeira inequação: → ponto .
Para na segunda inequação: → ponto .
Portanto, os vértices do domínio são:
Passo 5
Agora, vamos considerar a função . Como o enunciado não especifica, vamos supor que seja linear, por exemplo:
As curvas de nível dessa função são linhas onde , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar o maior valor de tal que a linha ainda toque o domínio .
Passo 6
Para encontrar o maior , vamos calcular o valor de em cada um dos vértices do domínio :