Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas, : (b)
Passo 1
Beleza, vamos provar que a soma é igual a para todo número natural . Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica poderosa para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o menor valor de , que é 1.
Quando :
Viu? Está certinho! A base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, vamos supor que:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos provar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Vamos adicionar o próximo termo na soma:
Isso mostra que a afirmação funciona para .
Resposta
Portanto, por indução matemática, a identidade é válida para todo .