Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas,
: (b)
Passo 1
Beleza, vamos provar que a soma
é igual a
para todo número natural
. Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica poderosa para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o menor valor de
, que é 1.
Quando
:
Viu? Está certinho! A base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, vamos supor que:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos provar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos adicionar o próximo termo na soma:
Isso mostra que a afirmação funciona para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a identidade
é válida para todo
.