Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas, forall n in N* : (b) P(n): 1 + 2 + 4 + ... + 2^(n-1) = 2^n - 1

Passo 1

Beleza, vamos provar que a soma é igual a para todo número natural . Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica poderosa para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o menor valor de , que é 1.
Quando :
Viu? Está certinho! A base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, vamos supor que:
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos provar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Vamos adicionar o próximo termo na soma:
ó
Isso mostra que a afirmação funciona para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a identidade é válida para todo .

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