Considere a função . Essa função é descontínua em algum ponto? Se sim, em quais? Fundamente sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função é descontínua em algum ponto. Isso tá ligado ao conteúdo de continuidade de funções de duas variáveis. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que significa uma função ser contínua e como verificar isso em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, precisamos verificar se isso acontece para todos os pontos na função.

Passo 3

Nossa função é definida de duas formas:
Vamos analisar a continuidade em todos os pontos. Para , a função é um quociente de polinômios e o denominador nunca é zero exceto no ponto . Então, a função é contínua em todos os pontos diferentes de .

Passo 4

O ponto crítico é . Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Ou seja, verificar se:
Vamos calcular esse limite usando diferentes caminhos para ver se ele é o mesmo em todos.

Passo 5

Primeiro caminho: Vamos aproximar pela linha .
Então, o limite nesse caminho é 0.
Segundo caminho: Agora, vamos aproximar pela parábola .
Aqui, o limite é 1.

Passo 6

Observamos que os limites pelos dois caminhos diferentes são diferentes (0 e 1). Isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

Sim, a função é descontínua no ponto porque o limite não existe nesse ponto.

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