Considere a função
. Essa função é descontínua em algum ponto? Se sim, em quais? Fundamente sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função
é descontínua em algum ponto. Isso tá ligado ao conteúdo de continuidade de funções de duas variáveis. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que significa uma função ser contínua e como verificar isso em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, precisamos verificar se isso acontece para todos os pontos na função.
Passo 3
Nossa função é definida de duas formas:
Vamos analisar a continuidade em todos os pontos. Para
, a função é um quociente de polinômios e o denominador
nunca é zero exceto no ponto
. Então, a função é contínua em todos os pontos diferentes de
.
Passo 4
O ponto crítico é
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Ou seja, verificar se:
Vamos calcular esse limite usando diferentes caminhos para ver se ele é o mesmo em todos.
Passo 5
Primeiro caminho: Vamos aproximar
pela linha
.
Então, o limite nesse caminho é 0.
Segundo caminho: Agora, vamos aproximar
pela parábola
.
Aqui, o limite é 1.
Passo 6
Observamos que os limites pelos dois caminhos diferentes são diferentes (0 e 1). Isso significa que o limite geral
não existe.
Resposta
Sim, a função
é descontínua no ponto
porque o limite não existe nesse ponto.
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, com
e
, do ponto de coordenadas cartesianas
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