Encontre as coordenadas polares (r, θ), com r < 0 e 0 <= theta < 2 pi, do ponto de coordenadas cartesianas (-1, raiz(3)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas polares (r, θ) de um ponto que já está dado nas coordenadas cartesianas (-1, raiz(3)). Vamos precisar usar o conteúdo de conversão entre coordenadas cartesianas e polares, especificamente as fórmulas para calcular o raio r e o ângulo theta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de r, que representa a distância do ponto até a origem. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ângulo theta. Usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Como x é negativo e y é positivo, o ponto está no segundo quadrante. Portanto, o ângulo theta fica:

Passo 4

A questão pede que , então precisamos ajustar nosso ângulo theta. Quando r é negativo, adicionamos pi ao ângulo encontrado para manter o ponto na posição correta:
E, consequentemente, r será negativo:

Resposta

As coordenadas polares são .

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