Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para determinarmos o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função conforme as variáveis
e
se aproximam de certos valores. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de limites, aproximações de funções trigonométricas e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, observamos que quando
se aproxima de
, tanto o numerador quanto o denominador da função tendem a zero, formando uma expressão indeterminada do tipo
. Isso nos indica que precisamos analisar melhor o comportamento da função para determinar o limite.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão usando uma aproximação para
. Sabemos que, para valores pequenos de
,
. Portanto,
. Substituindo isso na função, temos:
Passo 4
Agora, para facilitar a análise, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde:
Substituindo na expressão aproximada:
Passo 5
Simplificando a expressão acima:
Passo 6
Agora, vemos que o numerador contém
multiplicado por uma função que depende apenas de
, e o denominador também depende apenas de
. Como
tende a zero, toda a expressão tende a zero multiplicada por uma função limitada. Portanto, o limite da função é:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre a equação cartesiana da curva
.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas:
e
Considere a função
. Essa função é descontínua em algum ponto? Se sim, em quais? Fundamente sua resposta.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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