Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para determinarmos o limite da função quando se aproxima de . Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função conforme as variáveis e se aproximam de certos valores. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de limites, aproximações de funções trigonométricas e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador da função tendem a zero, formando uma expressão indeterminada do tipo . Isso nos indica que precisamos analisar melhor o comportamento da função para determinar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão usando uma aproximação para . Sabemos que, para valores pequenos de , . Portanto, . Substituindo isso na função, temos:

Passo 4

Agora, para facilitar a análise, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares , onde:
Substituindo na expressão aproximada:

Passo 5

Simplificando a expressão acima:

Passo 6

Agora, vemos que o numerador contém multiplicado por uma função que depende apenas de , e o denominador também depende apenas de . Como tende a zero, toda a expressão tende a zero multiplicada por uma função limitada. Portanto, o limite da função é:

Resposta

O limite é igual a .

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. .