Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) x^2 tg^2 yx^2+2 y^2.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para determinarmos o limite da função quando se aproxima de . Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função conforme as variáveis e se aproximam de certos valores. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de limites, aproximações de funções trigonométricas e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador da função tendem a zero, formando uma expressão indeterminada do tipo . Isso nos indica que precisamos analisar melhor o comportamento da função para determinar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão usando uma aproximação para x^2 tan^2 yx^2 + 2 y^2 approx x^2 y^2x^2 + 2 y^2 . Sabemos que, para valores pequenos de , . Portanto, . Substituindo isso na função, temos:

Passo 4

Agora, para facilitar a análise, vamos converter as coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sin theta para coordenadas polares (r cos theta)^2 (r sin theta)^2(r cos theta)^2 + 2 (r sin theta)^2 = r^4 cos^2 theta sin^2 thetar^2 (cos^2 theta + 2 sin^2 theta) , onde:
Substituindo na expressão aproximada:

Passo 5

Simplificando a expressão acima:
r^4 cos^2 theta sin^2 thetar^2 (cos^2 theta + 2 sin^2 theta) = r^2 cos^2 theta sin^2 thetacos^2 theta + 2 sin^2 theta

Passo 6

Agora, vemos que o numerador contém multiplicado por uma função que depende apenas de , e o denominador também depende apenas de . Como tende a zero, toda a expressão tende a zero multiplicada por uma função limitada. Portanto, o limite da função é:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados