Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) x^2 cos ^2 yx^2+2 y^2.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse limite aqui: lim (x, y) (0,0) x^2 cos ^2 yx^2+2 y^2. A matéria que vamos usar é cálculo de limites de funções de duas variáveis. Precisamos entender como a função se comporta quando os dois valores, x e y, se aproximam de zero. Vamos ver se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: x^2 cos^2 y. Sabemos que o cosseno de qualquer número está entre -1 e 1, então cos y está entre -1 e 1. Assim, cos^2 y estará entre 0 e 1. Isso significa que x^2 cos^2 y <= x^2.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador: x^2 + 2y^2. Ambos os termos são positivos ou zero, então o denominador nunca será negativo. Isso nos ajuda a garantir que a função está bem definida perto de (0,0), exceto talvez exatamente em (0,0).

Passo 4

Para encontrar o limite, vamos tentar trazer as variáveis para uma única direção. Vamos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta. Quando (x, y) (0,0), r 0.

Passo 5

Substituindo na função, temos:
(r cos theta)^2 cos^2(r sin theta)(r cos theta)^2 + 2(r sin theta)^2 = r^2 cos^2 theta cos^2(r sin theta)r^2 (cos^2 theta + 2 sin^2 theta) = cos^2 theta cos^2(r sin theta)cos^2 theta + 2 sin^2 theta

Passo 6

Observamos que quando r 0, cos^2(r sin theta) cos^2(0) = 1. Então, a expressão simplifica para:
cos^2 thetacos^2 theta + 2 sin^2 theta

Passo 7

Agora, o limite depende de theta, o que significa que o resultado pode variar dependendo do caminho que escolhemos para aproximar (0,0). Por exemplo:
  • Se theta = 0, temos 11 + 0 = 1.
  • Se theta = pi2, temos 00 + 2 = 0.
Como obtemos valores diferentes dependendo de theta, o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados