Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse limite aqui:
. A matéria que vamos usar é cálculo de limites de funções de duas variáveis. Precisamos entender como a função se comporta quando os dois valores, x e y, se aproximam de zero. Vamos ver se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador:
. Sabemos que o cosseno de qualquer número está entre -1 e 1, então
está entre -1 e 1. Assim,
estará entre 0 e 1. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador:
. Ambos os termos são positivos ou zero, então o denominador nunca será negativo. Isso nos ajuda a garantir que a função está bem definida perto de (0,0), exceto talvez exatamente em (0,0).
Passo 4
Para encontrar o limite, vamos tentar trazer as variáveis para uma única direção. Vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Quando
,
.
Passo 5
Substituindo na função, temos:
Passo 6
Observamos que quando
,
. Então, a expressão simplifica para:
Passo 7
Agora, o limite depende de
, o que significa que o resultado pode variar dependendo do caminho que escolhemos para aproximar (0,0). Por exemplo:
- Se
, temos . - Se
, temos .
Como obtemos valores diferentes dependendo de
, o limite não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite não existe.