Considere a função
.
Faça um mapa de contorno de
com, no mínimo, 5 curvas de nível.
Faça um mapa de contorno de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para criar um mapa de contorno da função
usando pelo menos 5 curvas de nível. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e como representamos graficamente essas funções usando curvas que mostram onde a função assume valores constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
mantém um valor constante. Ou seja, para cada curva de nível, temos
, onde
é uma constante específica. Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.
Passo 3
Vamos encontrar a equação das curvas de nível para a função dada. Sabemos que
. Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por 2:
Essa equação representa círculos com raio
no plano
.
Passo 4
Agora, precisamos escolher pelo menos 5 valores diferentes para
e determinar os respectivos círculos. Vamos escolher
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Com as equações das curvas de nível em mãos, podemos desenhar os círculos correspondentes no plano
. Cada círculo terá centro na origem
e raio
. Ao traçar esses círculos para os valores de
escolhidos, teremos um mapa de contorno que mostra como a função
varia ao longo do plano.
Resposta
O mapa de contorno de
consiste em 5 círculos concêntricos com centros na origem e raios
,
,
,
e
, representando as curvas de nível para
.