Considere a função f(x, y) = raiz(2 x^2 + 2 y^2).
Faça um mapa de contorno de f com, no mínimo, 5 curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para criar um mapa de contorno da função usando pelo menos 5 curvas de nível. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e como representamos graficamente essas funções usando curvas que mostram onde a função assume valores constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Ou seja, para cada curva de nível, temos , onde é uma constante específica. Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 3

Vamos encontrar a equação das curvas de nível para a função dada. Sabemos que . Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por 2:
Essa equação representa círculos com raio no plano .

Passo 4

Agora, precisamos escolher pelo menos 5 valores diferentes para e determinar os respectivos círculos. Vamos escolher :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com as equações das curvas de nível em mãos, podemos desenhar os círculos correspondentes no plano . Cada círculo terá centro na origem e raio . Ao traçar esses círculos para os valores de escolhidos, teremos um mapa de contorno que mostra como a função varia ao longo do plano.

Resposta

O mapa de contorno de consiste em 5 círculos concêntricos com centros na origem e raios , , , e , representando as curvas de nível para .

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