Suponha que a velocidade de um ponto móvel sobre uma reta coordenada seja dada por pés/s, sendo o tempo em segundos. Qual é o percurso feito no intervalo de tempo [1,2]?
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um exercício onde a velocidade de um ponto que se move em uma linha reta é dada pela função pés por segundo, com representando o tempo em segundos. A pergunta é: qual foi o percurso feito por esse ponto no intervalo de tempo de 1 a 2 segundos? Para resolver isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a integração da função de velocidade para encontrar o percurso total.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o percurso total é obtido integrando a função de velocidade no intervalo de tempo dado. Matemáticamente, isso significa calcular a integral definida de de a .
Passo 3
Vamos escrever a integral que representa o percurso:
Passo 4
Observando o denominador , podemos fatorar para simplificar a expressão. Vamos fatorar:
Então, a função de velocidade fica:
Passo 5
Para integrar essa fração, vamos decompor em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Simplificando:
Rearranjando os termos:
Passo 7
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Passo 8
Resolvendo as equações:
De
De
De , temos
Então, as constantes são , e .
Passo 9
Substituindo de volta na decomposição das frações parciais:
Passo 10
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Passo 11
Integramos cada parte:
Então:
Passo 12
Agora, substituímos os limites de 2 e 1 na expressão integrada:
Para :
Para :
Simplificando:
Passo 13
Calculando os valores numéricos:
Resposta
O percurso feito no intervalo de tempo de 1 a 2 segundos é: