2,0 Suponha que a velocidade de um ponto móvel sobre uma reta coordenada seja dada por (t+3) / (t^3 + t) pés/s, t sendo o tempo em segundos. Qual é o percurso feito no intervalo de tempo [1,2]?

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício onde a velocidade de um ponto que se move em uma linha reta é dada pela função pés por segundo, com representando o tempo em segundos. A pergunta é: qual foi o percurso feito por esse ponto no intervalo de tempo de 1 a 2 segundos? Para resolver isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a integração da função de velocidade para encontrar o percurso total.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o percurso total é obtido integrando a função de velocidade no intervalo de tempo dado. Matemáticamente, isso significa calcular a integral definida de de a .

Passo 3

Vamos escrever a integral que representa o percurso:

Passo 4

Observando o denominador , podemos fatorar para simplificar a expressão. Vamos fatorar:
Então, a função de velocidade fica:

Passo 5

Para integrar essa fração, vamos decompor em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Simplificando:
Rearranjando os termos:

Passo 7

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 8

Resolvendo as equações:
  • De
  • De
  • De , temos
Então, as constantes são , e .

Passo 9

Substituindo de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 10

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 11

Integramos cada parte:
Então:

Passo 12

Agora, substituímos os limites de 2 e 1 na expressão integrada:
Para :
Para :
Simplificando:

Passo 13

Calculando os valores numéricos:

Resposta

O percurso feito no intervalo de tempo de 1 a 2 segundos é:
é

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