(3,0) Determine todos os valores de n para os quais a integral integral1^infty x^n d x (a) converge (b) diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a integral e descobrir para quais valores de ela converge ou diverge. Vamos usar o conteúdo de integrais impróprias e algumas propriedades de limites para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de forma mais fácil de trabalhar. Como o limite de integração é infinito, a gente transforma a integral em um limite. Então, a integral limb to infty integral1^b x^n dx fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral x^n dx = x^n+1n+1 + C em relação a . A antiderivada de é:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos aplicar os limites de integração de 1 a limb to infty [ b^n+1n+1 - 1^n+1n+1 ] = limb to infty b^n+1n+1 - 1n+1 na antiderivada que encontramos:

Passo 5

Agora, precisamos analisar o comportamento do termo quando tende ao infinito. Isso vai depender do valor de :
  • Se , ou seja, , então vai para infinito. Logo, a integral diverge.
  • Se , ou seja, , então vai para zero. Nesse caso, a integral converge.
  • Se , ou seja, , a antiderivada não está definida (você teria um logaritmo), mas nesse caso específico, sabemos que a integral também diverge.

Resposta

A integral converge para todos os valores de onde e diverge para .

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