Determine todos os valores de
para os quais a integral
(a) converge (b) diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a integral
e descobrir para quais valores de
ela converge ou diverge. Vamos usar o conteúdo de integrais impróprias e algumas propriedades de limites para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de forma mais fácil de trabalhar. Como o limite de integração é infinito, a gente transforma a integral em um limite. Então, a integral
fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar
em relação a
. A antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos aplicar os limites de integração de 1 a
na antiderivada que encontramos:
Passo 5
Agora, precisamos analisar o comportamento do termo
quando
tende ao infinito. Isso vai depender do valor de
:
- Se
, ou seja, , então vai para infinito. Logo, a integral diverge. - Se
, ou seja, , então vai para zero. Nesse caso, a integral converge. - Se
, ou seja, , a antiderivada não está definida (você teria um logaritmo), mas nesse caso específico, sabemos que a integral também diverge.
Resposta
A integral
converge para todos os valores de
onde
e diverge para
.