Considere a função f(x, y) = raiz(4 x^2 + y^2).
Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . A pergunta é para determinar o domínio dessa função e o conjunto imagem dela. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida. Nesse caso, como temos uma raiz quadrada, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo nos números reais.

Passo 3

Então, temos que garantir que . Olha só: sempre é positivo ou zero, e multiplicando por 4 não muda isso. O mesmo vale para . Somando dois números que são zero ou positivos, o resultado sempre vai ser zero ou positivo.

Passo 4

Isso significa que a condição é sempre verdadeira, independente dos valores de e . Então, o domínio da função é todo o plano real, ou seja, todos os pares pertencentes a .

Passo 5

Agora, vamos para o conjunto imagem de . O conjunto imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Já que temos , a raiz quadrada sempre resulta em um número real não negativo, porque está tirando a raiz de algo que é zero ou positivo.

Passo 6

Além disso, como pode ser qualquer número real não negativo (vai de 0 ao infinito), a raiz quadrada também vai cobrir todos os números reais não negativos. Ou seja, a função pode assumir qualquer valor a partir de 0 até mais infinito.

Resposta

O domínio de é todo o plano real e o conjunto imagem de é .

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