Considere a função
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Determine o domínio e o conjunto imagem de
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Determine o domínio e o conjunto imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. A pergunta é para determinar o domínio dessa função e o conjunto imagem dela. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida. Nesse caso, como temos uma raiz quadrada, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo nos números reais.
Passo 3
Então, temos que garantir que
. Olha só:
sempre é positivo ou zero, e multiplicando por 4 não muda isso. O mesmo vale para
. Somando dois números que são zero ou positivos, o resultado sempre vai ser zero ou positivo.
Passo 4
Isso significa que a condição
é sempre verdadeira, independente dos valores de
e
. Então, o domínio da função
é todo o plano real, ou seja, todos os pares
pertencentes a
.
Passo 5
Agora, vamos para o conjunto imagem de
. O conjunto imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Já que temos
, a raiz quadrada sempre resulta em um número real não negativo, porque está tirando a raiz de algo que é zero ou positivo.
Passo 6
Além disso, como
pode ser qualquer número real não negativo (vai de 0 ao infinito), a raiz quadrada também vai cobrir todos os números reais não negativos. Ou seja, a função pode assumir qualquer valor a partir de 0 até mais infinito.
Resposta
O domínio de
é todo o plano real
e o conjunto imagem de
é
.