Considere a função f(x, y) = raiz(2y - y^2 - x^2). Esboce o gráfico de f(x, y).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função . Aqui, vamos trabalhar com funções de duas variáveis e explorar superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, precisamos entender onde a função está definida e como ela se comporta nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir para quais valores de e a expressão dentro da raiz quadrada é válida, ou seja, deve ser maior ou igual a zero:

Passo 3

Vamos reorganizar a inequação para facilitar a análise:

Passo 4

Complete o quadrado para a parte que envolve :
Substituindo de volta na inequação:

Passo 5

A inequação representa a área dentro e na borda de um círculo de raio 1, centrado no ponto no plano . Isso significa que a função está definida apenas dentro desse círculo.

Passo 6

Agora, vamos interpretar a função . Essa função dá a altura para cada ponto no domínio definido. Como estamos lidando com uma raiz quadrada, os valores de serão sempre não negativos.

Passo 7

Para esboçar o gráfico, podemos pensar que cada ponto dentro do círculo terá uma altura correspondente. A superfície resultante será uma forma semelhante a uma meia esfera ou uma cúpula sobre o círculo.

Resposta

O gráfico de é uma superfície em forma de cúpula localizada acima do círculo no plano . Essa cúpula tem altura máxima de 1 no ponto central e desce até zero na borda do círculo, formando assim uma meia esfera.

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