Considere a função
. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
. Aqui, vamos trabalhar com funções de duas variáveis e explorar superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, precisamos entender onde a função está definida e como ela se comporta nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir para quais valores de
e
a expressão dentro da raiz quadrada é válida, ou seja, deve ser maior ou igual a zero:
Passo 3
Vamos reorganizar a inequação para facilitar a análise:
Passo 4
Complete o quadrado para a parte que envolve
:
Substituindo de volta na inequação:
Passo 5
A inequação
representa a área dentro e na borda de um círculo de raio 1, centrado no ponto
no plano
. Isso significa que a função
está definida apenas dentro desse círculo.
Passo 6
Agora, vamos interpretar a função
. Essa função dá a altura
para cada ponto
no domínio definido. Como estamos lidando com uma raiz quadrada, os valores de
serão sempre não negativos.
Passo 7
Para esboçar o gráfico, podemos pensar que cada ponto dentro do círculo
terá uma altura
correspondente. A superfície resultante será uma forma semelhante a uma meia esfera ou uma cúpula sobre o círculo.
Resposta
O gráfico de
é uma superfície em forma de cúpula localizada acima do círculo
no plano
. Essa cúpula tem altura máxima de 1 no ponto central
e desce até zero na borda do círculo, formando assim uma meia esfera.
Exercícios relacionados
Encontre a soma da série
Seu objetivo nessa questão será calcular a
, onde
é a região limitada pelas parábolas
e
. Para isso:
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.
Sejam
e
famílias de conjuntos. Mostre que
(a)
(a)
(b)