Seu objetivo nessa questão será calcular a integral duplaD^square x y d A, onde D é a região limitada pelas parábolas y=2 x^2 e y=1+x^2. Para isso:
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla integral duplaD x y , dA, onde a região D é limitada pelas parábolas y = 2x^2 e y = 1 + x^2. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas parábolas se encontram e depois configurar a integral corretamente.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos de interseção das curvas y = 2x^2 e y = 1 + x^2. Para isso, igualamos as duas equações:
2x^2 = 1 + x^2
Subtraindo x^2 de ambos os lados:
x^2 = 1
Resolvendo para x, temos:
x = pm 1
Agora, substituímos esses valores de x em uma das equações para encontrar os valores correspondentes de y. Usando y = 2x^2:
Para x = 1:
y = 2(1)^2 = 2
Para x = -1:
y = 2(-1)^2 = 2
Então, os pontos de interseção são (1, 2) e (-1, 2).

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, podemos configurar a integral dupla. Observando as parábolas:
  • y = 2x^2 está abaixo de y = 1 + x^2 para x entre -1 e 1.
  • Portanto, para cada valor de x nesse intervalo, y varia de 2x^2 até 1 + x^2.
Assim, a integral fica:
integral duplaD x y , dA = integralx=-1^1 integraly=2x^2^1 + x^2 x y , dy , dx

Passo 4

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a y:
integral2x^2^1 + x^2 x y , dy
Como x é constante em relação a y, podemos tirar x da integral:
x integral2x^2^1 + x^2 y , dy
Integrando y:
x [ y^22 ]2x^2^1 + x^2 = x ( (1 + x^2)^22 - (2x^2)^22 )
Simplificando:
x ( 1 + 2x^2 + x^4 - 4x^42 ) = x ( 1 + 2x^2 - 3x^42 ) = x + 2x^3 - 3x^52

Passo 5

Agora, integremos o resultado acima em relação a x de -1 a 1:
integral-1^1 x + 2x^3 - 3x^52 , dx = 12 integral-1^1 (x + 2x^3 - 3x^5) , dx
Integrando termo a termo:
12 [ x^22 + 2x^44 - 3x^66 ]-1^1 = 12 [ x^22 + x^42 - x^62 ]-1^1

Passo 6

Vamos avaliar a expressão nos limites x = 1 e x = -1:
Para x = 1:
1^22 + 1^42 - 1^62 = 12 + 12 - 12 = 12
Para x = -1:
(-1)^22 + (-1)^42 - (-1)^62 = 12 + 12 - 12 = 12
Subtraindo:
12 - 12 = 0

Resposta

A integral integral duplaD x y , dA é igual a 0.

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