Seu objetivo nessa questão será calcular a , onde é a região limitada pelas parábolas e . Para isso:
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região é limitada pelas parábolas e . Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas parábolas se encontram e depois configurar a integral corretamente.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos de interseção das curvas e . Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Resolvendo para , temos:
Agora, substituímos esses valores de em uma das equações para encontrar os valores correspondentes de . Usando :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, podemos configurar a integral dupla. Observando as parábolas:
- está abaixo de para entre e .
- Portanto, para cada valor de nesse intervalo, varia de até .
Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a :
Como é constante em relação a , podemos tirar da integral:
Integrando :
Simplificando:
Passo 5
Agora, integremos o resultado acima em relação a de a :
Integrando termo a termo:
Passo 6
Vamos avaliar a expressão nos limites e :
Para :
Para :
Subtraindo:
Resposta
A integral é igual a .
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(a)
(b)
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