Seu objetivo nessa questão será calcular a , onde é a região limitada pelas parábolas e . Para isso: b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região é limitada pelas parábolas e . Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas parábolas se encontram e depois configurar a integral corretamente.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos de interseção das curvas e . Para isso, igualamos as duas equações: Subtraindo de ambos os lados: Resolvendo para , temos: Agora, substituímos esses valores de em uma das equações para encontrar os valores correspondentes de . Usando : Para : Para : Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, podemos configurar a integral dupla. Observando as parábolas: - está abaixo de para entre e . - Portanto, para cada valor de nesse intervalo, varia de até . Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a : Como é constante em relação a , podemos tirar da integral: Integrando : Simplificando:

Passo 5

Agora, integremos o resultado acima em relação a de a : Integrando termo a termo:

Passo 6

Vamos avaliar a expressão nos limites e : Para : Para : Subtraindo:

Resposta

A integral é igual a .

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