Seu objetivo nessa questão será calcular a
, onde
é a região limitada pelas parábolas
e
. Para isso:
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
, onde a região
é limitada pelas parábolas
e
. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas parábolas se encontram e depois configurar a integral corretamente.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos de interseção das curvas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resolvendo para
, temos:
Agora, substituímos esses valores de
em uma das equações para encontrar os valores correspondentes de
. Usando
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, podemos configurar a integral dupla. Observando as parábolas:
-
está abaixo de para entre e . - Portanto, para cada valor de
nesse intervalo, varia de até .
Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar
da integral:
Integrando
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integremos o resultado acima em relação a
de
a
:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Vamos avaliar a expressão nos limites
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral
é igual a
.