Sejam
e
famílias de conjuntos. Mostre que
(a)
(b)
(a)
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver o exercício que envolve operações com conjuntos, especificamente uniões e interseções. No item (a), a gente precisa mostrar que a interseção de duas uniões é igual à união das interseções. Para resolver isso, vamos usar as definições de união e interseção de conjuntos e algumas propriedades básicas de lógica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada parte da equação no item (a):
Isso quer dizer que estamos pegando todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos
para
e também em pelo menos um dos conjuntos
para
, e vendo quais desses elementos são comuns a ambos.
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado direito da equação:
Aqui, estamos fazendo a união de todas as interseções
para cada par
. Isso significa que estamos coletando todos os elementos que estão simultaneamente em algum
e algum
.
Passo 4
Para provar que esses dois lados são iguais, vamos mostrar que qualquer elemento que está na interseção das uniões está também na união das interseções, e vice-versa.
Passo 5
Primeiro, suponha que
. Isso significa que
está em pelo menos um
e em pelo menos um
. Portanto, existe
e
tais que
e
. Logo,
, o que implica que
está na união das interseções.
Passo 6
Agora, suponha que
. Isso significa que existe
e
tais que
. Logo,
está tanto na união de todos os
quanto na união de todos os
. Portanto,
.
Passo 7
Como mostramos que cada lado está contido no outro, isso prova que:
Passo 8
Vamos agora para o item (b). Precisamos mostrar que a união de duas interseções é igual à interseção das uniões. Isso também envolve entender bem as operações de união e interseção e aplicar propriedades de lógica para provar a igualdade.
Passo 9
Primeiro, vamos analisar o lado esquerdo da equação no item (b):
Isso significa que estamos pegando todos os elementos que estão em todos os conjuntos
para
ou em todos os conjuntos
para
.
Passo 10
Agora, olhemos o lado direito:
Aqui, estamos fazendo a interseção de todas as uniões
para cada par
. Isso quer dizer que estamos coletando apenas os elementos que estão em todas as possíveis uniões de
com
.
Passo 11
Para provar a igualdade, vamos mostrar que qualquer elemento que está na união das interseções está também na interseção das uniões, e vice-versa.
Passo 12
Primeiro, suponha que
. Isso significa que
está em todos os
ou em todos os
.
Passo 13
Se
está em todos os
, então para qualquer
,
está em
. Da mesma forma, se
está em todos os
, então para qualquer
,
está em
. Portanto,
está na interseção de todas as uniões.
Passo 14
Agora, suponha que
. Isso significa que para qualquer par
,
está em
ou em
.
Passo 15
Para que
esteja em todas as uniões
, ele deve estar ou em todos os
ou em todos os
. Se não fosse esse o caso, haveria algum
ou
onde
não estaria, o que contraria nossa suposição. Portanto,
está ou na interseção de todos os
ou na interseção de todos os
.
Passo 16
Como mostramos que cada lado está contido no outro, isso prova que:
Resposta
A igualdade proposta no item (b) está comprovada:
Exercícios relacionados
Seu objetivo nessa questão será calcular a
, onde
é a região limitada pelas parábolas
e
. Para isso:
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.
Considere a função
. Esboce o gráfico de
.
Sejam
funções. Mostre que para
vale
Determine os seguintes limites.