Sejam e famílias de conjuntos. Mostre que
(a)
(b)

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver o exercício que envolve operações com conjuntos, especificamente uniões e interseções. No item (a), a gente precisa mostrar que a interseção de duas uniões é igual à união das interseções. Para resolver isso, vamos usar as definições de união e interseção de conjuntos e algumas propriedades básicas de lógica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada parte da equação no item (a):
Isso quer dizer que estamos pegando todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos para e também em pelo menos um dos conjuntos para , e vendo quais desses elementos são comuns a ambos.

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado direito da equação:
Aqui, estamos fazendo a união de todas as interseções para cada par . Isso significa que estamos coletando todos os elementos que estão simultaneamente em algum e algum .

Passo 4

Para provar que esses dois lados são iguais, vamos mostrar que qualquer elemento que está na interseção das uniões está também na união das interseções, e vice-versa.

Passo 5

Primeiro, suponha que . Isso significa que está em pelo menos um e em pelo menos um . Portanto, existe e tais que e . Logo, , o que implica que está na união das interseções.

Passo 6

Agora, suponha que . Isso significa que existe e tais que . Logo, está tanto na união de todos os quanto na união de todos os . Portanto, .

Passo 7

Como mostramos que cada lado está contido no outro, isso prova que:

Passo 8

Vamos agora para o item (b). Precisamos mostrar que a união de duas interseções é igual à interseção das uniões. Isso também envolve entender bem as operações de união e interseção e aplicar propriedades de lógica para provar a igualdade.

Passo 9

Primeiro, vamos analisar o lado esquerdo da equação no item (b):
Isso significa que estamos pegando todos os elementos que estão em todos os conjuntos para ou em todos os conjuntos para .

Passo 10

Agora, olhemos o lado direito:
Aqui, estamos fazendo a interseção de todas as uniões para cada par . Isso quer dizer que estamos coletando apenas os elementos que estão em todas as possíveis uniões de com .

Passo 11

Para provar a igualdade, vamos mostrar que qualquer elemento que está na união das interseções está também na interseção das uniões, e vice-versa.

Passo 12

Primeiro, suponha que . Isso significa que está em todos os ou em todos os .

Passo 13

Se está em todos os , então para qualquer , está em . Da mesma forma, se está em todos os , então para qualquer , está em . Portanto, está na interseção de todas as uniões.

Passo 14

Agora, suponha que . Isso significa que para qualquer par , está em ou em .

Passo 15

Para que esteja em todas as uniões , ele deve estar ou em todos os ou em todos os . Se não fosse esse o caso, haveria algum ou onde não estaria, o que contraria nossa suposição. Portanto, está ou na interseção de todos os ou na interseção de todos os .

Passo 16

Como mostramos que cada lado está contido no outro, isso prova que:

Resposta

A igualdade proposta no item (b) está comprovada:

Exercícios relacionados

Seu objetivo nessa questão será calcular a , onde é a região limitada pelas parábolas e . Para isso:
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.
Considere a função . Esboce o gráfico de .
Sejam funções. Mostre que para vale
Determine os seguintes limites.