Determine se a série absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou diverge:
sumn=1^infty (-1)^n(5 n-1)5 n+3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita:
sumn=1^infty (-1)^n(5 n-1)5 n+3
Queremos descobrir se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de convergência de séries e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Vamos começar verificando se a série converge absolutamente. Isso significa que consideramos a série sem o termo alternado (o sumn=1^infty | (-1)^n(5 n-1)5 n+3 | = sumn=1^infty 5n - 15n + 3 ) e verificamos se ela converge. Assim, analisamos a série:

Passo 3

Agora, vamos investigar o comportamento dos termos dessa nova série quando limn to infty 5n - 15n + 3 tende ao infinito. Calculamos o limite do termo geral:
limn to infty 5 - 1n5 + 3n = 5 - 05 + 0 = 1
Dividindo numerador e denominador por :

Passo 4

O limite do termo geral é 1, ou seja, diferente de zero ( sumn=1^infty 5n - 15n + 3 diver>= ). Segundo o Teste da Divergência, se o limite do termo geral de uma série não é zero, a série diverge. Portanto, a série dos valores absolutos diverge:

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Mas ainda resta a possibilidade de ela convergir condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada.

Passo 6

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos são decrescentes.
  3. O limite de quando tende ao infinito é zero.
No nosso caso, .

Passo 7

Vamos verificar as condições:
  1. Positividade: limn to infty 5n - 15n + 3 = 1 neq 0 é positivo para .
  2. Decrescimento: Para ver se é decrescente, podemos observar que conforme aumenta, a fração tende a 1, mas não está claramente decrescendo.
  3. Limite:

Passo 8

A terceira condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita, pois o limite de não é zero. Portanto, a série não convergente condicionalmente.

Resposta

A série diverge.

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