Encontre a soma da série
sumn=0^infty (-2)^n3^n n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a soma dessa série infinita:
sumn=0^infty (-2)^n3^n n!
Aqui, estamos lidando com uma série infinita que envolve termos com fatoriais e potências. Para resolver isso, vamos usar o conceito da função exponencial, que é uma ferramenta poderosa para somar séries desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observa que temos sumn=0^infty (-23)^nn! dividido por , o que pode ser reescrito como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da definição da função exponencial. Sabemos que:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Comparando isso com a nossa série, vemos que corresponde a .

Passo 4

Então, podemos substituir e^-23 = sumn=0^infty (-23)^nn! por na fórmula da função exponencial:
Isso mostra que nossa série é, na verdade, a expansão de .

Passo 5

Portanto, a soma da série é simplesmente:
e^-23
Podemos deixar a resposta assim ou calcular seu valor aproximado usando uma calculadora, se necessário.

Resposta

A soma da série é .

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