Encontre a soma da série

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a soma dessa série infinita:
Aqui, estamos lidando com uma série infinita que envolve termos com fatoriais e potências. Para resolver isso, vamos usar o conceito da função exponencial, que é uma ferramenta poderosa para somar séries desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observa que temos dividido por , o que pode ser reescrito como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da definição da função exponencial. Sabemos que:
Comparando isso com a nossa série, vemos que corresponde a .

Passo 4

Então, podemos substituir por na fórmula da função exponencial:
Isso mostra que nossa série é, na verdade, a expansão de .

Passo 5

Portanto, a soma da série é simplesmente:
Podemos deixar a resposta assim ou calcular seu valor aproximado usando uma calculadora, se necessário.

Resposta

A soma da série é .

Exercícios relacionados

Determine se a série converge ou diverge:
Considere a função . Esboce o gráfico de .
Seu objetivo nessa questão será calcular a , onde é a região limitada pelas parábolas e . Para isso:
b) (1,0 ponto) Encontre a interseção das curvas dadas e calcule a integral fornecida.