Determine o domínio das funções reais de várias variáveis reais abaixo:
(k) g(x, y) = raiz(x) + raiz(16 - x^2 - y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é basicamente o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, e ) para os quais a função está definida. Aqui, vamos usar conceitos de matemática relacionados a funções de várias variáveis e propriedades das raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada parte da função para garantir que tudo esteja definido. Temos duas raízes quadradas: e . Para que as raízes quadradas sejam números reais, os radicandos (as expressões dentro das raízes) precisam ser maiores ou iguais a zero.

Passo 3

Vamos começar com a primeira raiz quadrada, . Para que isso seja real, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Isso significa que precisa ser pelo menos zero.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda raiz quadrada, . Novamente, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Podemos rearranjar isso para:
Essa é a equação de um círculo com raio 4 no plano , o que significa que os pontos devem estar dentro ou na borda desse círculo.

Passo 5

Agora, juntando as duas condições que encontramos:
Isso significa que o domínio da função é a parte do círculo onde é maior ou igual a zero. Basicamente, é a metade direita do círculo de raio 4 centrado na origem.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares tais que:
Ou seja, é a parte do círculo de raio 4 centrado na origem onde é não-negativo.

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