Determine o domínio das funções reais de várias variáveis reais abaixo:
(k)
.
(k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é basicamente o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso,
e
) para os quais a função está definida. Aqui, vamos usar conceitos de matemática relacionados a funções de várias variáveis e propriedades das raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para cada parte da função para garantir que tudo esteja definido. Temos duas raízes quadradas:
e
. Para que as raízes quadradas sejam números reais, os radicandos (as expressões dentro das raízes) precisam ser maiores ou iguais a zero.
Passo 3
Vamos começar com a primeira raiz quadrada,
. Para que isso seja real, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Isso significa que
precisa ser pelo menos zero.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda raiz quadrada,
. Novamente, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Podemos rearranjar isso para:
Essa é a equação de um círculo com raio 4 no plano
, o que significa que os pontos
devem estar dentro ou na borda desse círculo.
Passo 5
Agora, juntando as duas condições que encontramos:
Isso significa que o domínio da função é a parte do círculo
onde
é maior ou igual a zero. Basicamente, é a metade direita do círculo de raio 4 centrado na origem.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
tais que:
Ou seja, é a parte do círculo de raio 4 centrado na origem onde
é não-negativo.