Considere a função f(x, y) = -raiz(9*x^2 + 9*y^2).
Faça um mapa de contorno de f com, no mínimo, 5 curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para fazer um mapa de contorno da função . Isso está relacionado ao conteúdo de funções de duas variáveis e suas representações gráficas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas ajudam a visualizar a função em um espaço bidimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um mapa de contorno. Um mapa de contorno é uma representação gráfica que mostra onde a função tem constantes iguais, chamadas de curvas de nível. Cada curva de nível corresponde a um valor específico da função. Imagine como se fossem linhas em um mapa topográfico que mostram altitudes diferentes.

Passo 3

Para criar o mapa de contorno, precisamos determinar as curvas onde , sendo um valor constante. Vamos resolver a equação da função para diferentes valores de :
Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por -1:
Aqui, para que o lado direito seja real, deve ser positivo, ou seja, deve ser negativo. Vamos chamar de , onde :
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Podemos simplificar dividindo tudo por 9:
Isso nos mostra que as curvas de nível são círculos com centro na origem e raio .

Passo 4

Agora, vamos escolher 5 valores diferentes para (ou seja, 5 valores para ) para desenhar as curvas de nível. Vamos escolher (podem ser outros valores, mas esses servem bem para ilustrar).
Para cada , a equação da curva de nível será:
Então, substituindo os valores de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :

Passo 5

Cada uma dessas equações representa um círculo com raio igual a . Por exemplo, é um círculo de raio 1, é de raio 2, e assim por diante. No mapa de contorno, esses círculos concêntricos mostrarão como a função varia no espaço.

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em 5 círculos concêntricos centrados na origem, com raios 1, 2, 3, 4 e 5 unidades, correspondentes às curvas de nível:
Essas curvas representam os pontos onde a função assume valores constantes, facilitando a visualização de como a função se comporta no plano .

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