Considere a função
.
Faça um mapa de contorno de
com, no mínimo, 5 curvas de nível.
Faça um mapa de contorno de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para fazer um mapa de contorno da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de funções de duas variáveis e suas representações gráficas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas ajudam a visualizar a função em um espaço bidimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um mapa de contorno. Um mapa de contorno é uma representação gráfica que mostra onde a função
tem constantes iguais, chamadas de curvas de nível. Cada curva de nível corresponde a um valor específico da função. Imagine como se fossem linhas em um mapa topográfico que mostram altitudes diferentes.
Passo 3
Para criar o mapa de contorno, precisamos determinar as curvas onde
, sendo
um valor constante. Vamos resolver a equação da função para diferentes valores de
:
Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por -1:
Aqui, para que o lado direito seja real,
deve ser positivo, ou seja,
deve ser negativo. Vamos chamar
de
, onde
:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Podemos simplificar dividindo tudo por 9:
Isso nos mostra que as curvas de nível são círculos com centro na origem e raio
.
Passo 4
Agora, vamos escolher 5 valores diferentes para
(ou seja, 5 valores para
) para desenhar as curvas de nível. Vamos escolher
(podem ser outros valores, mas esses servem bem para ilustrar).
Para cada
, a equação da curva de nível será:
Então, substituindo os valores de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Cada uma dessas equações representa um círculo com raio igual a
. Por exemplo,
é um círculo de raio 1,
é de raio 2, e assim por diante. No mapa de contorno, esses círculos concêntricos mostrarão como a função
varia no espaço.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em 5 círculos concêntricos centrados na origem, com raios 1, 2, 3, 4 e 5 unidades, correspondentes às curvas de nível:
Essas curvas representam os pontos onde a função
assume valores constantes, facilitando a visualização de como a função se comporta no plano
.