Considere a função
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para determinar o domínio e o conjunto imagem da função
. Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de
e
a função está definida (domínio) e quais valores
pode assumir (imagem). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções de duas variáveis e propriedades de funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função
, vemos que ela envolve apenas termos quadráticos de
e
.
Como não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos, a função está definida para todos os valores reais de
e
. Portanto, o domínio da função é todo o plano real.
Passo 3
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir. A função é dada por
.
Sabemos que qualquer número ao quadrado (
ou
) sempre resulta em um valor não negativo. Multiplicando por 5 mantém essa propriedade. Portanto,
será sempre maior ou igual a zero.
Além disso, para qualquer valor não negativo
, podemos encontrar valores de
e
que satisfaçam
. Isso significa que a função pode assumir todos os valores reais não negativos.
Resposta
- Domínio de
: (todos os pares de números reais ) - Conjunto imagem de
: