Considere a função f(x, y) = 5 x^2 + 5 y^2.
Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para determinar o domínio e o conjunto imagem da função . Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de e a função está definida (domínio) e quais valores pode assumir (imagem). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções de duas variáveis e propriedades de funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função , vemos que ela envolve apenas termos quadráticos de e .
Como não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos, a função está definida para todos os valores reais de e . Portanto, o domínio da função é todo o plano real.

Passo 3

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir. A função é dada por .
Sabemos que qualquer número ao quadrado ( ou ) sempre resulta em um valor não negativo. Multiplicando por 5 mantém essa propriedade. Portanto, será sempre maior ou igual a zero.
Além disso, para qualquer valor não negativo , podemos encontrar valores de e que satisfaçam . Isso significa que a função pode assumir todos os valores reais não negativos.

Resposta

  • Domínio de : (todos os pares de números reais )
  • Conjunto imagem de :

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