Use uma substituição trigonométrica para calcular a área da região limitada pela elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da região delimitada pela elipse dada pela equação
. Para isso, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos precisar saber sobre integrais e como parametrizar uma elipse usando funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da elipse. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Essa é a forma padrão da equação de uma elipse, onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Agora, para parametrizar a elipse, vamos usar:
Aqui,
é um ângulo que varia de
a
. Essa substituição ajuda a simplificar a integração para calcular a área.
Passo 4
A área
da elipse pode ser calculada usando a fórmula de integração polar:
Mas, como estamos em coordenadas cartesianas, vamos usar a fórmula da área para curvas parametrizadas:
Passo 5
Vamos calcular
:
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
O sinal negativo aparece porque
é negativo, mas como estamos calculando uma área, podemos considerar o valor absoluto:
Passo 6
Sabemos que
. Vamos usar essa identidade trigonométrica:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Integrando:
e
porque o cosseno é uma função periódica que se anula no intervalo completo.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da área:
Resposta
A área da região limitada pela elipse é
.