2,0 Use uma substituição trigonométrica para calcular a área da região limitada pela elipse b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da região delimitada pela elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos precisar saber sobre integrais e como parametrizar uma elipse usando funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da elipse. Dividindo ambos os lados por , temos:
Essa é a forma padrão da equação de uma elipse, onde é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Agora, para parametrizar a elipse, vamos usar:
Aqui, é um ângulo que varia de a . Essa substituição ajuda a simplificar a integração para calcular a área.

Passo 4

A área da elipse pode ser calculada usando a fórmula de integração polar:
Mas, como estamos em coordenadas cartesianas, vamos usar a fórmula da área para curvas parametrizadas:

Passo 5

Vamos calcular :
Agora, substituímos e na fórmula da área:
O sinal negativo aparece porque é negativo, mas como estamos calculando uma área, podemos considerar o valor absoluto:

Passo 6

Sabemos que . Vamos usar essa identidade trigonométrica:
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando:
e
porque o cosseno é uma função periódica que se anula no intervalo completo.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da área:

Resposta

A área da região limitada pela elipse é .

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