Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o limite de uma função à medida que os dois valores,
e
, se aproximam de zero. Especificamente, a função é:
Aqui, estamos lidando com limites em duas variáveis, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de fatoração e simplificação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração:
. Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, e podemos fatorar dessa forma:
Então, o numerador fatorado fica
.
Passo 3
Agora, substituímos o numerador fatorado na expressão original:
Observamos que
aparece tanto no numerador quanto no denominador. A não ser que
, podemos simplificar esses termos:
Então, a expressão simplificada é
.
Passo 4
Agora que simplificamos a expressão para
, podemos calcular o limite quando
e
se aproximam de zero:
Porque tanto
quanto
tendem a zero quando
e
tendem a zero.
Resposta
O limite é igual a zero, ou seja,
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Simplifique:
Reduza a termos de menor grau:
Considere a função
.
A função é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
A função