Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o limite de uma função à medida que os dois valores, lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2-y^2 e , se aproximam de zero. Especificamente, a função é:
Aqui, estamos lidando com limites em duas variáveis, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de fatoração e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) . Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, e podemos fatorar dessa forma:
Então, o numerador fatorado fica .

Passo 3

Agora, substituímos o numerador fatorado na expressão original:
(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)x^2 - y^2
Observamos que (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)x^2 - y^2 = x^2 + y^2 aparece tanto no numerador quanto no denominador. A não ser que , podemos simplificar esses termos:
Então, a expressão simplificada é .

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão para lim (x, y) (0,0) (x^2 + y^2) = 0 + 0 = 0 , podemos calcular o limite quando e se aproximam de zero:
Porque tanto quanto tendem a zero quando e tendem a zero.

Resposta

O limite é igual a zero, ou seja,
lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2-y^2 = 0

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