Neste exercício seu objetivo será estimar o valor de (1,2) * raiz(2 * (1,2)^2 - (0,9)^3) por meio de uma aproximação linear.
b. Escreva a equação do plano tangente a essa função em um ponto que ajude a chegar ao cálculo acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estimar o valor de usando uma aproximação linear. Isso envolve o conceito de aproximação linear, que utiliza o plano tangente da função para fazer uma estimativa próxima a um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o plano tangente de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos lidando. Vamos considerar . Nosso objetivo é estimar . Para isso, vamos usar a aproximação linear em torno de um ponto próximo onde seja fácil calcular, geralmente escolhendo um ponto onde as derivadas são conhecidas ou mais simples, como 1,1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor da função no ponto escolhido, ou seja, calcular . Substituindo na função:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y. Isso é necessário para construir a equação do plano tangente.
A derivada parcial em relação a x:
Avaliada em 1,1:
A derivada parcial em relação a y:
Avaliada em 1,1:

Passo 5

Agora, com a função e suas derivadas parciais no ponto 1,1, podemos escrever a equação do plano tangente. A forma geral do plano tangente é:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é:

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