Neste exercício seu objetivo será estimar o valor de
por meio de uma aproximação linear.
b. Escreva a equação do plano tangente a essa função em um ponto que ajude a chegar ao cálculo acima.
b. Escreva a equação do plano tangente a essa função em um ponto que ajude a chegar ao cálculo acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que estimar o valor de
usando uma aproximação linear. Isso envolve o conceito de aproximação linear, que utiliza o plano tangente da função para fazer uma estimativa próxima a um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o plano tangente de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos lidando. Vamos considerar
. Nosso objetivo é estimar
. Para isso, vamos usar a aproximação linear em torno de um ponto próximo onde seja fácil calcular, geralmente escolhendo um ponto onde as derivadas são conhecidas ou mais simples, como
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor da função no ponto escolhido, ou seja, calcular
. Substituindo na função:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso é necessário para construir a equação do plano tangente.
A derivada parcial em relação a
:
Avaliada em
:
A derivada parcial em relação a
:
Avaliada em
:
Passo 5
Agora, com a função e suas derivadas parciais no ponto
, podemos escrever a equação do plano tangente. A forma geral do plano tangente é:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente é: