Determine a massa e o centro de massa de um sólido que tem densidade constante, limitado por no plano e pelo parabolóide (2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa e o centro de massa de um sólido com densidade constante. O sólido está limitado pela equação no plano e pelo parabolóide . Para isso, vamos usar cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas, já que o problema tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume desse sólido. Em coordenadas cilíndricas, a equação do parabolóide fica , onde é a distância ao eixo . Os limites de integração são:
varia de 0 a 2 (porque implica ),
varia de 0 a ,
varia de 0 a .
Então, o volume é dado por:
Integrando em ordem:
Passo 3
Agora, a massa do sólido é a densidade vezes o volume:
Passo 4
Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular as coordenadas . Devido à simetria do sólido, sabemos que . Focaremos então em .
A coordenada é dada por:
Usando coordenadas cilíndricas:
Então,
Resposta
A massa do sólido é e o centro de massa está no ponto .