Determine a massa e o centro de massa de um sólido que tem densidade constante, limitado por x^2 + y^2 <= 4 no plano z = 0 e pelo parabolóide z = 4 - x^2 - y^2 (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa e o centro de massa de um sólido com densidade constante. O sólido está limitado pela equação no plano e pelo parabolóide . Para isso, vamos usar cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas, já que o problema tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume desse sólido. Em coordenadas cilíndricas, a equação do parabolóide fica , onde é a distância ao eixo . Os limites de integração são:
  • varia de 0 a 2 (porque implica ),
  • varia de 0 a ,
  • varia de 0 a .
Então, o volume é dado por:
Integrando em ordem:

Passo 3

Agora, a massa do sólido é a densidade vezes o volume:

Passo 4

Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular as coordenadas . Devido à simetria do sólido, sabemos que . Focaremos então em .
A coordenada é dada por:
Usando coordenadas cilíndricas:
Então,

Resposta

A massa do sólido é e o centro de massa está no ponto .

Exercícios relacionados