Seja
. Mostre que
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado: Temos que, para
e
, demonstrar que
. O conteúdo envolvido aqui pertence ao estudo de desigualdades e funções exponenciais. Para resolver essa questão, precisaremos manipular a inequação e entender como as funções envolvidas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a inequação dada:
Nosso objetivo é mostrar que essa desigualdade é verdadeira para todos os
e
.
Passo 3
Para simplificar a análise, vamos multiplicar ambos os lados da inequação por 4, que é um número positivo e não altera o sentido da desigualdade:
Passo 4
Agora, vamos considerar o comportamento das duas funções envolvidas:
-
é uma função quadrática, que cresce proporcionalmente ao quadrado dos valores de e . -
é uma função exponencial, que cresce muito mais rapidamente conforme e aumentam.
Sabemos que funções exponenciais eventualmente superam funções polinomiais de qualquer grau à medida que as variáveis aumentam.
Passo 5
Para confirmar que a inequação é válida para todos os
e
, vamos verificar alguns casos específicos:
- Caso 1:
,
Inequação válida.
- Caso 2:
,
Inequação válida.
- Caso 3:
,
Inequação válida.
Passo 6
Observando os casos acima, percebemos que, à medida que
e
aumentam, a função exponencial cresce muito mais rápido que a função quadrática. Isso sugere que a desigualdade será mantida para todos os valores de
e
maiores ou iguais a zero.
Passo 7
Além disso, a inequação é simétrica em relação a
e
, o que simplifica a análise, já que podemos considerar
sem perda de generalidade. Isso facilita a verificação de mais casos e fortalece a conclusão de que a desigualdade é válida em geral.
Resposta
Portanto, para todos os valores de
e
, temos que
.