Seja . Mostre que .

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: Temos que, para e , demonstrar que . O conteúdo envolvido aqui pertence ao estudo de desigualdades e funções exponenciais. Para resolver essa questão, precisaremos manipular a inequação e entender como as funções envolvidas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a inequação dada:
Nosso objetivo é mostrar que essa desigualdade é verdadeira para todos os e .

Passo 3

Para simplificar a análise, vamos multiplicar ambos os lados da inequação por 4, que é um número positivo e não altera o sentido da desigualdade:

Passo 4

Agora, vamos considerar o comportamento das duas funções envolvidas:
  • é uma função quadrática, que cresce proporcionalmente ao quadrado dos valores de e .
  • é uma função exponencial, que cresce muito mais rapidamente conforme e aumentam.
Sabemos que funções exponenciais eventualmente superam funções polinomiais de qualquer grau à medida que as variáveis aumentam.

Passo 5

Para confirmar que a inequação é válida para todos os e , vamos verificar alguns casos específicos:
  • Caso 1: ,
Inequação válida.
  • Caso 2: ,
Inequação válida.
  • Caso 3: ,
Inequação válida.

Passo 6

Observando os casos acima, percebemos que, à medida que e aumentam, a função exponencial cresce muito mais rápido que a função quadrática. Isso sugere que a desigualdade será mantida para todos os valores de e maiores ou iguais a zero.

Passo 7

Além disso, a inequação é simétrica em relação a e , o que simplifica a análise, já que podemos considerar sem perda de generalidade. Isso facilita a verificação de mais casos e fortalece a conclusão de que a desigualdade é válida em geral.

Resposta

Portanto, para todos os valores de e , temos que .

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