Considere a função , mostre que a função é diferenciável no ponto , utilizando o critério do erro.
Definição: A função é diferenciável no ponto se as derivadas parciais e existem e se

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a função e precisa mostrar que ela é diferenciável no ponto usando o critério do erro. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e o conceito de diferenciabilidade. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável, mantendo a outra constante.
Calculando :
No ponto :
Calculando :
No ponto :

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais no ponto , precisamos verificar o critério do erro para garantir que a função é diferenciável ali. O critério diz que:
Onde é o erro da aproximação linear, definido por:
Vamos calcular .

Passo 4

Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos tudo na expressão de :
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Agora, vamos reescrever para facilitar o cálculo do limite. Observamos que:
Isso nos ajuda a ver que o erro é uma combinação de quadrados das diferenças e .

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite:
Para simplificar, vamos dividir cada termo por :
Observamos que:
Então:

Passo 7

Agora, aplicando o limite:
Mas queremos que esse limite seja zero. No nosso caso, percebemos que a função é uma função quadrática, e o erro é do ordem de , que é de segunda ordem. Dividindo isso pela distância , o limite tende a zero.

Resposta

Portanto, concluímos que a função é diferenciável no ponto .

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Dada equação homogênea de Cauchy-Euler: .
(b) Ache as soluções que satisfazem as condições de contorno:
Dada equação homogênea de Cauchy-Euler: .
(a) Ache a solução geral desta equação.
Dada equação de Cauchy-Euler: .
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
Dada equação não linear .
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.