Considere a função
, mostre que a função é diferenciável no ponto
, utilizando o critério do erro.
Definição: A função
é diferenciável no ponto
se as derivadas parciais
e
existem e se
Definição: A função
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a função
e precisa mostrar que ela é diferenciável no ponto
usando o critério do erro. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e o conceito de diferenciabilidade. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável, mantendo a outra constante.
Calculando
:
No ponto
:
Calculando
:
No ponto
:
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais no ponto
, precisamos verificar o critério do erro para garantir que a função é diferenciável ali. O critério diz que:
Onde
é o erro da aproximação linear, definido por:
Vamos calcular
.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos tudo na expressão de
:
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Agora, vamos reescrever
para facilitar o cálculo do limite. Observamos que:
Isso nos ajuda a ver que o erro é uma combinação de quadrados das diferenças
e
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite:
Para simplificar, vamos dividir cada termo por
:
Observamos que:
Então:
Passo 7
Agora, aplicando o limite:
Mas queremos que esse limite seja zero. No nosso caso, percebemos que a função
é uma função quadrática, e o erro
é do ordem de
, que é de segunda ordem. Dividindo isso pela distância
, o limite tende a zero.
Resposta
Portanto, concluímos que a função
é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Dada equação homogênea de Cauchy-Euler:
.
(b) Ache as soluções que satisfazem as condições de contorno:
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Dada equação homogênea de Cauchy-Euler:
.
(a) Ache a solução geral desta equação.
(a) Ache a solução geral desta equação.
Dada equação de Cauchy-Euler:
.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
Dada equação não linear
.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.