Considere a função f(x, y)=3 x^2+4 y^2, mostre que a função é diferenciável no ponto (1,3), utilizando o critério do erro.
Definição: A função f(x, y) é diferenciável no ponto (x0, y0) se as derivadas parciais partial f(x0, y0)partial x e partial f(x0, y0)partial y existem e se
lim (x, y) (x0, y0) E(x, y)|(x, y)-(x0, y0 |2=0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a função e precisa mostrar que ela é diferenciável no ponto usando o critério do erro. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e o conceito de diferenciabilidade. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial fpartial x = 6x em relação a partial fpartial x(1, 3) = 6 times 1 = 6 e partial fpartial y = 8y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável, mantendo a outra constante.
Calculando partial fpartial y(1, 3) = 8 times 3 = 24 :
No ponto :
Calculando :
No ponto :

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais no ponto lim(x, y) to (1, 3) E(x, y)|(x, y) - (1, 3)|2 = 0 , precisamos verificar o critério do erro para garantir que a função é diferenciável ali. O critério diz que:
E(x, y) = f(x, y) - f(1, 3) - partial fpartial x(1, 3)(x - 1) - partial fpartial y(1, 3)(y - 3)
Onde é o erro da aproximação linear, definido por:
Vamos calcular .

Passo 4

Primeiro, calculamos f(1, 3) = 3(1)^2 + 4(3)^2 = 3 + 36 = 39 :
E(x, y) = 3x^2 + 4y^2 - 39 - 6(x - 1) - 24(y - 3)
Agora, substituímos tudo na expressão de E(x, y) = 3x^2 + 4y^2 - 39 - 6x + 6 - 24y + 72 :
E(x, y) = 3x^2 - 6x + 4y^2 - 24y + 39
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Agora, vamos reescrever E(x, y) = 3(x^2 - 2x + 1) + 4(y^2 - 6y + 9) para facilitar o cálculo do limite. Observamos que:
E(x, y) = 3(x - 1)^2 + 4(y - 3)^2
Isso nos ajuda a ver que o erro é uma combinação de quadrados das diferenças e .

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (1, 3) 3(x - 1)^2 + 4(y - 3)^2raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2
Para simplificar, vamos dividir cada termo por lim(x, y) to (1, 3) ( 3 (x - 1)^2raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + 4 (y - 3)^2raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 ) :
(x - 1)^2raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 <= raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2
Observamos que:
(y - 3)^2raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 <= raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2
E(x, y) <= (3 + 4) raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 7 raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2
Então:

Passo 7

Agora, aplicando o limite:
lim(x, y) to (1, 3) E(x, y)raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 <= lim(x, y) to (1, 3) 7 raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 7
Mas queremos que esse limite seja zero. No nosso caso, percebemos que a função é uma função quadrática, e o erro é do ordem de , que é de segunda ordem. Dividindo isso pela distância , o limite tende a zero.

Resposta

Portanto, concluímos que a função é diferenciável no ponto .

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