Dada equação não linear
.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial não linear de segunda ordem:
. Nosso objetivo aqui é diminuir a ordem dessa equação, ou seja, transformar uma equação de segunda ordem em uma de primeira ordem usando uma substituição adequada. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituições em equações diferenciais e como elas ajudam a simplificar o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação de segunda ordem envolve a derivada segunda de
em relação a
, que é
. Para diminuir a ordem da equação, vamos fazer uma substituição que nos permita expressar
em termos de uma nova variável. Vamos definir:
Isso significa que
é a primeira derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora que temos
, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Substituindo isso na equação original, temos:
Então, nossa equação original
agora fica:
Passo 4
Até aqui, conseguimos reduzir a equa��ão de segunda ordem para uma de primeira ordem:
Mas ainda temos
na equação, então precisamos relacionar
e
de alguma forma. Como
, podemos escrever
, o que nos dá um sistema de equações:
Esse sistema representa a equação reduzida de primeira ordem que conseguimos.
Resposta
Após a substituição, a equação diferencial de segunda ordem reduzida de primeira ordem é:
onde
.
Exercícios relacionados
Dada equação de Cauchy-Euler:
.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
Considere a função
, mostre que a função é diferenciável no ponto
, utilizando o critério do erro.
Definição: A função é diferenciável no ponto
se as derivadas parciais
e
existem e se
Definição: A função
Dada equação não linear
.
(b) Ache a solução geral da equação.
(b) Ache a solução geral da equação.
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
d)
d)