Dada equação de Cauchy-Euler:
.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação de Cauchy-Euler do tipo
. Nosso objetivo é encontrar o conjunto fundamental para a parte homogênea dessa equação. Isso significa que vamos resolver a equação sem o lado direito (o “=1”) e encontrar três soluções que servem como base para todas as soluções possíveis dessa parte homogênea. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações de Cauchy-Euler e como supor soluções do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte homogênea da equação, ou seja:
Equações de Cauchy-Euler são especiais porque têm coeficientes que são potências de
. A gente pode resolver assumindo que a solução tem a forma
, onde
é um número que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na equação homogênea:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 5
Como todos os termos têm
em comum, podemos fatorar isso:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
diferente de zero, o que está dentro dos colchetes deve ser igual a zero. Assim, temos a equação característica:
Passo 6
Vamos resolver essa equação característica passo a passo:
-
Expanda
: -
Calcule
: -
Junte tudo na equação característica:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação cúbica
. Vamos tentar encontrar as raízes.
Primeiro, testamos
:
Então,
é uma raiz. Podemos fatorar
da equação:
Portanto, as raízes são
(com multiplicidade 2) e
.
Passo 8
Com as raízes encontradas, podemos escrever as soluções da parte homogênea:
-
Para
: -
Como
é uma raiz dupla, adicionamos uma solução com logaritmo: -
Para
:
Resposta
O conjunto fundamental para a parte homogênea da equação dada é:
Exercícios relacionados
Considere a função
, mostre que a função é diferenciável no ponto
, utilizando o critério do erro.
Definição: A função é diferenciável no ponto
se as derivadas parciais
e
existem e se
Definição: A função
Dada equação homogênea de Cauchy-Euler:
.
(b) Ache as soluções que satisfazem as condições de contorno:
(b) Ache as soluções que satisfazem as condições de contorno:
Dada equação não linear
.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
Dada equação não linear
.
(b) Ache a solução geral da equação.
(b) Ache a solução geral da equação.