Dada equação de Cauchy-Euler: .
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação de Cauchy-Euler do tipo . Nosso objetivo é encontrar o conjunto fundamental para a parte homogênea dessa equação. Isso significa que vamos resolver a equação sem o lado direito (o “=1”) e encontrar três soluções que servem como base para todas as soluções possíveis dessa parte homogênea. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações de Cauchy-Euler e como supor soluções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte homogênea da equação, ou seja:
Equações de Cauchy-Euler são especiais porque têm coeficientes que são potências de . A gente pode resolver assumindo que a solução tem a forma , onde é um número que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na equação homogênea:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 5

Como todos os termos têm em comum, podemos fatorar isso:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo diferente de zero, o que está dentro dos colchetes deve ser igual a zero. Assim, temos a equação característica:

Passo 6

Vamos resolver essa equação característica passo a passo:
  1. Expanda :
  2. Calcule :
  3. Junte tudo na equação característica:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação cúbica . Vamos tentar encontrar as raízes.
Primeiro, testamos :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar da equação:
Portanto, as raízes são (com multiplicidade 2) e .

Passo 8

Com as raízes encontradas, podemos escrever as soluções da parte homogênea:
  1. Para :
  2. Como é uma raiz dupla, adicionamos uma solução com logaritmo:
  3. Para :

Resposta

O conjunto fundamental para a parte homogênea da equação dada é:

Exercícios relacionados

Considere a função , mostre que a função é diferenciável no ponto , utilizando o critério do erro.
Definição: A função é diferenciável no ponto se as derivadas parciais e existem e se
Dada equação homogênea de Cauchy-Euler: .
(b) Ache as soluções que satisfazem as condições de contorno:
Dada equação não linear .
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
Dada equação não linear .
(b) Ache a solução geral da equação.