Dada equação homogênea de Cauchy-Euler:
.
(b) Ache as soluções que satisfazem as condições de contorno:
(b) Ache as soluções que satisfazem as condições de contorno:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler que é do tipo homogênea:
. A gente vai precisar usar técnicas de resolução de equações de Cauchy-Euler, que envolvem tentar soluções da forma
. Além disso, vamos aplicar as condições de contorno
e
pra encontrar os valores das constantes na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma
. Aí, a gente precisa calcular as derivadas dessa função:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Fatoramos
da expressão:
Como
nunca é zero para
, podemos ignorar esse fator e resolver a equação característica:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, usamos a forma
para raízes
.
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar
e
.
Primeira condição:
Passo 8
Segunda condição:
Resposta
A solução que satisfaz as condições de contorno é: