Dada equação homogênea de Cauchy-Euler: x^2 y''(x) + 3 x y'(x) + 2 y(x) = 0.
(b) Ache as soluções que satisfazem as condições de contorno: y(1) = 1, y(2) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler que é do tipo homogênea: . A gente vai precisar usar técnicas de resolução de equações de Cauchy-Euler, que envolvem tentar soluções da forma . Além disso, vamos aplicar as condições de contorno e pra encontrar os valores das constantes na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma . Aí, a gente precisa calcular as derivadas dessa função:

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Fatoramos da expressão:
Como nunca é zero para , podemos ignorar esse fator e resolver a equação característica:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 6

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, usamos a forma para raízes .

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar e .
Primeira condição:

Passo 8

Segunda condição:

Resposta

A solução que satisfaz as condições de contorno é:

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