Dada equação homogênea de Cauchy-Euler: x^2 y''(x) + 3 x y'(x) + 2 y(x) = 0.
(a) Ache a solução geral desta equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler: . Esse tipo de equação é especial porque tem coeficientes que são potências de . Para resolver, vamos precisar saber como transformar essa equação em uma equação característica usando substituições que simplificam a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação de Cauchy-Euler tem a forma geral:
onde , , e são constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é um número que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Substituindo essas derivadas na equação original:

Passo 4

Simplificando cada termo:
Fatorando :
Como , podemos igualar o que está dentro dos parênteses a zero:
Expandindo:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação é:
onde e . Substituindo:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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