Dada equação homogênea de Cauchy-Euler: .
(a) Ache a solução geral desta equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler: . Esse tipo de equação é especial porque tem coeficientes que são potências de . Para resolver, vamos precisar saber como transformar essa equação em uma equação característica usando substituições que simplificam a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação de Cauchy-Euler tem a forma geral:
onde , , e são constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é um número que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Substituindo essas derivadas na equação original:

Passo 4

Simplificando cada termo:
Fatorando :
Como , podemos igualar o que está dentro dos parênteses a zero:
Expandindo:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação é:
onde e . Substituindo:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Dada equação linear
(a) Ache a solução geral desta equação sabendo que uma solução particular é .
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
b)
Dada equação homogênea de Cauchy-Euler: .
(b) Ache as soluções que satisfazem as condições de contorno:
Considere a função , mostre que a função é diferenciável no ponto , utilizando o critério do erro.
Definição: A função é diferenciável no ponto se as derivadas parciais e existem e se