Dada equação homogênea de Cauchy-Euler:
.
(a) Ache a solução geral desta equação.
(a) Ache a solução geral desta equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler:
. Esse tipo de equação é especial porque tem coeficientes que são potências de
. Para resolver, vamos precisar saber como transformar essa equação em uma equação característica usando substituições que simplificam a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação de Cauchy-Euler tem a forma geral:
onde
,
, e
são constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo essas derivadas na equação original:
Passo 4
Simplificando cada termo:
Fatorando
:
Como
, podemos igualar o que está dentro dos parênteses a zero:
Expandindo:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação é:
onde
e
. Substituindo:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.