Determine e faça um esboço do gráfico de cada função real de duas variáveis reais abaixo:
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta pede para determinar e fazer um esboço do gráfico da função real de duas variáveis
. Isso envolve entender como essa função se comporta no espaço e quais são suas características principais. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa é uma função linear de duas variáveis, o que significa que seu gráfico será um plano no espaço tridimensional. Para entender melhor, vamos reescrever a função de uma forma mais familiar:
Aqui,
é uma função de
e
. Isso nos mostra que para cada par de valores
, teremos um valor correspondente de
, formando assim um plano.
Passo 3
Agora, vamos identificar alguns pontos-chave para esboçar o gráfico. Uma maneira fácil de começar é encontrar a interseção do plano com os eixos coordenados:
-
Interseção com o eixo x (
): Ponto: -
Interseção com o eixo y (
): Ponto: -
Interseção com o eixo z (
): Ponto:
Esses três pontos são onde o plano corta os eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Com esses pontos, podemos começar a esboçar o plano:
- Trace os três pontos no espaço tridimensional:
, e . - Conecte esses pontos com linhas retas para formar um triângulo. Esse triângulo será uma representação simplificada do plano.
- Como a função é linear e não possui termos quadráticos ou cúbicos, o plano estende-se infinitamente em todas as direções.
Passo 5
Para visualizar melhor, podemos também determinar a inclinação do plano em relação aos eixos:
- O coeficiente de
é , indicando que, para cada aumento de 1 unidade em , o valor de diminui em 2 unidades, mantendo constante. - O coeficiente de
é , o que significa que, para cada aumento de 1 unidade em , o valor de diminui em 1 unidade, mantendo constante. - O termo constante é
, representando a altura do plano quando e são zero.
Resposta
O gráfico da função
é um plano no espaço tridimensional que intercepta os eixos
em
,
em
e
em
. O plano inclina-se negativamente em relação aos eixos
e
, formando um triângulo ao conectar os pontos de interseção e se estendendo infinitamente nessas direções.