Determine e faça um esboço do gráfico de cada função real de duas variáveis reais abaixo:
(e) F(x, y) = 4 - 2x - y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta pede para determinar e fazer um esboço do gráfico da função real de duas variáveis . Isso envolve entender como essa função se comporta no espaço e quais são suas características principais. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função linear de duas variáveis, o que significa que seu gráfico será um plano no espaço tridimensional. Para entender melhor, vamos reescrever a função de uma forma mais familiar:
Aqui, é uma função de e . Isso nos mostra que para cada par de valores , teremos um valor correspondente de , formando assim um plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar alguns pontos-chave para esboçar o gráfico. Uma maneira fácil de começar é encontrar a interseção do plano com os eixos coordenados:
  1. Interseção com o eixo x ( ):
    Ponto:
  2. Interseção com o eixo y ( ):
    Ponto:
  3. Interseção com o eixo z ( ):
    Ponto:
Esses três pontos são onde o plano corta os eixos , e , respectivamente.

Passo 4

Com esses pontos, podemos começar a esboçar o plano:
  • Trace os três pontos no espaço tridimensional: , e .
  • Conecte esses pontos com linhas retas para formar um triângulo. Esse triângulo será uma representação simplificada do plano.
  • Como a função é linear e não possui termos quadráticos ou cúbicos, o plano estende-se infinitamente em todas as direções.

Passo 5

Para visualizar melhor, podemos também determinar a inclinação do plano em relação aos eixos:
  • O coeficiente de é , indicando que, para cada aumento de 1 unidade em , o valor de diminui em 2 unidades, mantendo constante.
  • O coeficiente de é , o que significa que, para cada aumento de 1 unidade em , o valor de diminui em 1 unidade, mantendo constante.
  • O termo constante é , representando a altura do plano quando e são zero.

Resposta

O gráfico da função é um plano no espaço tridimensional que intercepta os eixos em , em e em . O plano inclina-se negativamente em relação aos eixos e , formando um triângulo ao conectar os pontos de interseção e se estendendo infinitamente nessas direções.

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