Considere a função f(x, y) = 5 x^2 + 5 y^2.
Faça um mapa de contorno de f com, no mínimo, 5 curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , e precisa fazer um mapa de contorno dela com pelo menos 5 curvas de nível. Isso significa que vamos desenhar curvas no plano onde a função assume valores constantes. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são curvas de nível e como determinar essas curvas para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível para a função é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, . Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função. Queremos encontrar 5 curvas de nível, então vamos escolher 5 valores diferentes para . Por exemplo, podemos escolher . Para cada valor de , vamos resolver a equação .

Passo 4

Vamos resolver a equação para cada valor de :
  1. Para :
    Essa é a equação de um círculo com raio 1 e centro na origem.
  2. Para :
    Circulo com raio .
  3. Para :
    Circulo com raio .
  4. Para :
    Circulo com raio 2.
  5. Para :
    Circulo com raio .

Passo 5

Então, todas as curvas de nível que escolhemos são círculos concêntricos com centro na origem, mas com raios diferentes. Isso acontece porque a função é simétrica em relação aos eixos e e cresce igualmente em todas as direções a partir do centro.

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em cinco círculos concêntricos centrados na origem, com as seguintes equações:
Cada círculo representa uma curva de nível da função para os valores de , respectivamente.

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