Considere a função .
Faça um mapa de contorno de com, no mínimo, 5 curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , e precisa fazer um mapa de contorno dela com pelo menos 5 curvas de nível. Isso significa que vamos desenhar curvas no plano onde a função assume valores constantes. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são curvas de nível e como determinar essas curvas para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível para a função é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, . Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função. Queremos encontrar 5 curvas de nível, então vamos escolher 5 valores diferentes para . Por exemplo, podemos escolher . Para cada valor de , vamos resolver a equação .
Passo 4
Vamos resolver a equação para cada valor de :
Para :
Essa é a equação de um círculo com raio 1 e centro na origem.
Para :
Circulo com raio .
Para :
Circulo com raio .
Para :
Circulo com raio 2.
Para :
Circulo com raio .
Passo 5
Então, todas as curvas de nível que escolhemos são círculos concêntricos com centro na origem, mas com raios diferentes. Isso acontece porque a função é simétrica em relação aos eixos e e cresce igualmente em todas as direções a partir do centro.
Resposta
O mapa de contorno da função consiste em cinco círculos concêntricos centrados na origem, com as seguintes equações:
Cada círculo representa uma curva de nível da função para os valores de , respectivamente.