Considere o sistema a um parâmetro alpha em R, dado por
x' = (2 -5) (x)
(b) Obtenha a solução geral quando alpha = 3/5 e esboce o retrato de fase.

Passo 1

Beleza! Temos um sistema de equações diferenciais dado por:
Queremos encontrar a solução geral desse sistema quando e também esboçar o retrato de fase. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores de uma matriz, que são conceitos fundamentais em álgebra linear e importantes para resolver sistemas lineares como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz do sistema. Autovalores são valores de lambda que satisfazem a equação característica:
Onde A é a matriz do sistema e I é a matriz identidade. Calculando:
O determinante dessa matriz é:
Simplificando:
Então, os autovalores são e .

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada lambda, resolvemos .
Para :
Resolvendo:
Da primeira equação: . Podemos escolher , então . Portanto, o autovetor é:
Para :
Resolvendo:
Da segunda equação: . Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Ela é dada por uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da solução geral:
Isso significa que as componentes e do vetor x(t) são dadas por:

Passo 6

Para esboçar o retrato de fase, observamos o comportamento das soluções à medida que t varia:
  • O termo e^t cresce exponencialmente, influenciado pelo autovalor positivo .
  • O termo e^(-t) decai exponencialmente, influenciado pelo autovalor negativo .
Isso indica que as soluções serão combinações de crescimento e decaimento, resultando em trajetórias que se afastam ou se aproximam da origem dependendo das constantes e .
No retrato de fase, como temos um autovalor positivo e outro negativo, teremos saddles (pontos de sela) onde as trajetórias se aproximam ao longo de uma direção (associada ao autovalor negativo) e se afastam ao longo de outra direção (associada ao autovalor positivo).

Resposta

A solução geral do sistema quando é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais. O retrato de fase apresenta um ponto de sela, com uma direção atrativa e outra repulsiva.

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