(b) Obtenha a solução geral quando e esboce o retrato de fase.
Passo 1
Beleza! Temos um sistema de equações diferenciais dado por:
Queremos encontrar a solução geral desse sistema quando e também esboçar o retrato de fase. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores de uma matriz, que são conceitos fundamentais em álgebra linear e importantes para resolver sistemas lineares como esse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz do sistema. Autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz do sistema e é a matriz identidade. Calculando:
O determinante dessa matriz é:
Simplificando:
Então, os autovalores são e .
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo:
Da primeira equação: . Podemos escolher , então . Portanto, o autovetor é:
Para :
Resolvendo:
Da segunda equação: . Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Ela é dada por uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da solução geral:
Isso significa que as componentes e do vetor são dadas por:
Passo 6
Para esboçar o retrato de fase, observamos o comportamento das soluções à medida que varia:
O termo cresce exponencialmente, influenciado pelo autovalor positivo .
O termo decai exponencialmente, influenciado pelo autovalor negativo .
Isso indica que as soluções serão combinações de crescimento e decaimento, resultando em trajetórias que se afastam ou se aproximam da origem dependendo das constantes e .
No retrato de fase, como temos um autovalor positivo e outro negativo, teremos saddles (pontos de sela) onde as trajetórias se aproximam ao longo de uma direção (associada ao autovalor negativo) e se afastam ao longo de outra direção (associada ao autovalor positivo).
Resposta
A solução geral do sistema quando é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais. O retrato de fase apresenta um ponto de sela, com uma direção atrativa e outra repulsiva.